Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

34
)(1)),((),(
1
1
0
1
0
hpghufLdughuf
m
k
kjiji
ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤ν+η+ξ−ν+η+ξ
∑
∫
−
=
,
),(1)),((),(
1
0
1
0
1
gpghufLdghuf
s
m
l
liiji
ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
+≤ν+η+ξ−νν+η+ξ
∑
∫
−
=
ν
и, следовательно, из равенств (9) на основании неравенства (7), в ко-
тором надо считать
)(1
1
0
hpc
l
m
k
k
ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
′
∑
−
=
, )(1
1
0
1
gpc
r
m
l
l
ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
+=
′′
∑
−
=
,
получим
),()(
))()(()(
21
2111
1
0
1
0
gBhA
gBhAhgfLfdxdy
b
a
d
c
ij
ij
ω+ω=
=ω+ωμν≤−
∫∫
∑∑
−μ
=
−ν
=
где
,1))((
1
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−=
∑
−
=
m
k
k
pcdabA
∑∑
−
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
+−−=
1
0
1
0
1
1))((
m
k
k
m
l
l
ppcdabB . (14)
Теорема 3. Пусть функция ),( yxf имеет частные производные
порядка
r
по )1( ≥zx и
s
по )1( ≥sy , удовлетворяющие на прямо-
угольнике )(),( dycbxa
≤
≤
≤≤ условиям
)(),(
1
)(
xxyxf
r
x
−
′
ω≤
′
,
)(),(),(
2
)(
yyyxfyxf
s
y
−
′
ω≤−
′
,
где
21
, ωω – функции, подчиняющиеся неравенствам (2) из разд. 2.
Пусть, кроме того, квадратурные формулы (1) точны соответственно
для многочленов степеней
r
и
s
. Тогда 
  1
                                                                 ⎛ m−1      ⎞
  ∫   f (ξ i + hu , η j + gν )du − L( f (ξ i + hu, η j + gν)) ≤ ⎜⎜1 + ∑ pk ⎟⎟ω1 (h) ,
  0                                                              ⎝ k =0     ⎠
  1
                                                                  ⎛ m1 −1 ⎞
  ∫   f (ξ i + hu , η j + gν)dν − Lν ( f (ξ i + hu , ηi + gν)) ≤ ⎜⎜1 + ∑ pl′ ⎟⎟ωs ( g ),
  0                                                               ⎝    l =0   ⎠
и, следовательно, из равенств (9) на основании неравенства (7), в ко-
тором надо считать
                        ⎛ m−1      ⎞                ⎛ m1 −1 ⎞
                  c′ = ⎜⎜1 + ∑ pk ⎟⎟ωl (h) , c′′ = ⎜⎜1 + ∑ pl′ ⎟⎟ωr ( g ) ,
                        ⎝ k =0     ⎠                ⎝    l =0   ⎠
получим
             bd            μ −1 ν −1

             ∫∫   fdxdy − ∑∑ Lij ( f ) ≤ μνhg ( A1ω1 (h) + B1ω2 ( g )) =
             ac            i = 0 j =0

                                        = Aω1 (h) + Bω2 ( g ),
где
                                                ⎛ m−1 ⎞
                            A = (b − a )(d − c)⎜⎜1 + ∑ pk ⎟⎟,
                                                ⎝ k =0     ⎠
                                            ⎛ m1 −1 ⎞ m−1
                         B = (b − a)(d − c)⎜⎜1 + ∑ pl′ ⎟⎟ ∑ pk .                     (14)
                                            ⎝    l =0   ⎠ k =0
   Теорема 3. Пусть функция f ( x, y ) имеет частные производные
порядка r по x( z ≥ 1) и s по y ( s ≥ 1) , удовлетворяющие на прямо-
угольнике (a ≤ x ≤ b), (c ≤ y ≤ d ) условиям
                                  f x( r ) ( x′, y ) ≤ ω1 ( x′ − x ) ,

                           f y( s ) ( x, y′) − f ( x, y ) ≤ ω2 ( y′ − y ) ,
где ω1 , ω2 – функции, подчиняющиеся неравенствам (2) из разд. 2.
Пусть, кроме того, квадратурные формулы (1) точны соответственно
для многочленов степеней r и s . Тогда




                                                 34

Страницы