Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

32
Доказательство.
Положим,
μ
−
=
ab
h
,
ν
−
=
cd
g
. Тогда имеем
()
∫∫
∑∑ ∑∑
∫∫
−μ
=
−ν
=
−μ
=
−ν
=
ξ
ξ
η
η
=−=−
+
+
b
a
d
c
ij ij
ijij
i
i
j
j
fLfdxdyfLfdxdy
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
)()(
{}
)),(;1,0,1,0(),(
1
0
1
1
0
1
0
ν+η+ξ−ν
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ν+η+ξ=
∑∑
∫∫
−μ
=
−ν
=
ghufLdudghufhg
ji
ioj
ji
. (9)
Функция ),(
ν
+
η+ξ ghuf
ji
имеет на квадрате
u
≤
0
,
1
≤
ν
по
u
частную производную порядка
r
, не превышающую по абсолютной
величине
r
Mh и по ν частную производную порядка
s
, не превы-
шающую по абсолютной величине
s
Ng . Таким образом, она принад-
лежит при любом фиксированном
ν
как функция от u классу
)1,0;(
)( rr
MhW и при любом фиксированном u как функция от ν
классу )1,0;(
)( ss
MgW . Поэтому по формуле (8) из разд. 4 имеет место
неравенство
r
riikji
MhcghufLdughuf ≤ν+η+ξ−ν+η+ξ
∫
)),((),(
1
0
. (10)
Аналогично,
s
rkiki
NgcghufLdghuf ≤ν+η+ξ−νν+η+ξ
∫
ν
1
0
)),((),( . (11)
Из формул (9) – (11) с учетом неравенства (7), а также обозначив
r
к
Mhсс =
′
,
s
s
Ngcc =
′′
, получим:
≤ν+η+ξ−νν+η+ξ≤
≤−
∑∑
∫∫
∫∫
∑∑
−μ
=
−ν
=
−μ
=
−ν
=
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
)),(;1,0,1,0(),(
)(
ij
jiki
b
a
d
c
ij
ij
ghufLdudghufhg
fLfdxdy
                                            b−a      d −c
   Доказательство. Положим, h =                 , g=      . Тогда имеем
                                             μ         ν
           bd          μ −1 ν −1         μ −1 ν −1     ξi +1 η j +1

           ∫∫   fdxdy − ∑∑ Lij ( f ) = ∑∑ (             ∫ ∫ fdxdy − Lij ( f ) ) =
           ac          i =0 j =0         i =0 j =0      ξi    ηj


     μ−1 ν−1 ⎛ 1 1                  ⎞
 = hg∑∑{ ⎜ ∫∫ f (ξi + hu, η j + gν) ⎟dudν − L(0,1,0,1; f (ξi + hu, η j + gν)) } . (9)
     i=0 j =o
              ⎜                     ⎟
              ⎝0 0                  ⎠
   Функция f (ξ i + hu, η j + gν) имеет на квадрате 0 ≤ u , ν ≤ 1 по u
частную производную порядка r , не превышающую по абсолютной
величине Mh r и по ν частную производную порядка s , не превы-
шающую по абсолютной величине Ng s . Таким образом, она принад-
лежит при любом фиксированном ν как функция от u классу
W ( r ) ( Mh r ;0,1) и при любом фиксированном u как функция от ν
классу W ( s ) ( Mg s ;0,1) . Поэтому по формуле (8) из разд. 4 имеет место
неравенство
       1

       ∫ f (ξi + hu, η j + gν)du − Lk ( f (ξi + hu, ηi + gν)) ≤ cr Mh
                                                                               r
                                                                                    .   (10)
       0

   Аналогично,
       1

       ∫ f (ξi + hu, ηk + gν)dν − Lν ( f (ξi + hu, ηk + gν)) ≤ cr Ng
                                                                               s
                                                                                    .   (11)
       0

   Из формул (9) – (11) с учетом неравенства (7), а также обозначив
с′ = ск Mh r , c′′ = cs Ng s , получим:
                              bd          μ −1 ν −1

                              ∫∫   fdxdy − ∑∑ Lij ( f ) ≤
                              ac           i =0 j =0

      μ −1 ν −1 1 1
 ≤ hg ∑∑ ∫ ∫ f (ξ i + hu , ηk + gν)dudν − L(0,1,0,1; f (ξ i + hu , η j + gν)) ≤
      i =0 j =0 0 0




                                           32

Страницы