Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 30 стр.

распространенную на все функции ϕ класса Μ ′ . Иначе говоря, по-
стоянная c′ есть наименьшее число среди чисел λ , для которых вы-
полняется неравенство
                                       1

                                       ∫ ϕdx − L(ϕ) ≤ λ                                         (5)
                                       0

для всех функций ϕ класса Μ ′ .
   Аналогично, положим,
                                                   1
                                  c′′ = sup ∫ ϕdy − L1 (ϕ) .                                    (6)
                                          ϕ∈Μ′′ 0

   Пусть функция f ( x, y ) , заданная в прямоугольнике 0 ≤ x , y ≤ 1 ,
обладает тем свойством, что для всякого фиксированного y как
функция от x она принадлежит к Μ ′ и для всякого фиксировано-
го x как функция от y принадлежит к Μ ′′ . В силу формул (2), (4)
и (6) приближение с помощью двумерной формулы (3) будет удовле-
творять неравенству
                       11                          m −1 m1 −1

                       ∫∫   f ( x, y )dxdy − ∑ ∑ pk pl′ f ( xk , yl ) =
                       00                          k =0 l = 0

  11                   1 m−1                           m−1      1             m−1m1−1
= ∫∫ f (x, y)dxdy− ∫     ∑ pk f (xk , y)dy + ∑ pk ∫ f (xk , y)dy − ∑∑ pk pl′ f (xk , yl ) ≤
  00                   0 k =0                          k =0     0             k =0 k =0



  1 1            m−1                m−1                             m1−1                  m−1
≤ ∫ ∫ f (x, y) − ∑pk f (xk , y) dy+ ∑ pk ∫ f (xk , y)dy− ∑pl′ f (xk , yl ) ≤ c′ + c′′∑ pk (7)
  0 0            k=0                k=0        0                    l=0                   k=0

или неравенству
            11                    m −1 m1 −1                               m1 −1

           ∫∫    f ( x, y )dxdy − ∑ ∑ pk pl′ f ( xk , yl ) ≤ c′ ∑ pl′ + c′′ .                   (8)
            00                    k =0 l = 0                               l =0

   Исходя из формулы (3) можно для произвольного прямоугольника
a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d построить кубатурную формулу


                                                       30