Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

37
Введем в рассмотрение класс функций ),;(
)(
baMW
r
α
, состоящий
из всех функций класса ),;(
)(
baMW
r
, удовлетворяющих дополни-
тельному условию:
0)(...)()(
)1(
=α==α
′
=α
−r
fff , ba
≤
α
≤
.
В разд. 3 было доказано, что всякая функция )(xf , принадлежа-
щая )1,0;(
0
MW
r
, может быть записана в виде интеграла:
∫
−
−
=
1
0
)(
)()(
)!1(
1
)( dttftxK
r
xf
r
r
,
где
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
−
.0,0
,0,
)(
1
u
uu
uK
r
r
(4)
Известно равенство
∫∫
=−
1
0
1
0
)(
,)()()( dttftFfLfdx
r
r
которое справедливо для всех функций класса )1,0;(
0
MW
r
,
где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
∑
=
m
k
krk
r
r
txKp
r
t
r
tF
1
)(
)1(
)!1(
1
)(.
Отсюда
=−−
−
−
=−
∫
∑
∫
=
∈
dttxKp
r
t
r
M
fLfdx
m
k
krk
r
MWf
r
1
0
1
1
0
)1,0;(
)(
)1(
)!1(
)(sup
)(
0
,)(
)!1(
1
0
1
duuu
r
u
r
M
m
k
kkK
r
r
∫
∑
=
−λ−
−
= (5)
где
,
1+−
=λ
kmk
p
1
1
+−
−
=
kmk
xu ,
1+
<
kk
uu . (6) 
                                                                                (r )
   Введем в рассмотрение класс функций Wα ( M ; a, b) , состоящий
из всех функций класса W ( r ) ( M ; a, b) , удовлетворяющих дополни-
тельному условию:
                          f (α) = f ′(α) = ... = f ( r −1) (α) = 0 , a ≤ α ≤ b .
   В разд. 3 было доказано, что всякая функция f (x) , принадлежа-
щая W0r ( M ;0,1) , может быть записана в виде интеграла:
                                                         1
                                                  1
                                  f ( x) =              ∫
                                               (r − 1)! 0
                                                          K r ( x − t ) f ( r ) (t )dt ,

                                                        ⎧u r −1 , u ≥ 0,
где                                          K r (u ) = ⎨                                                (4)
                                                        ⎩0, u < 0.
   Известно равенство
                                      1                      1

                                      ∫   fdx − L( f ) = ∫ Fr (t ) f ( r ) (t )dt ,
                                      0                      0

которое справедливо для всех функций класса W0r ( M ;0,1) ,
где
                                             1 ⎡ (1 − t ) r    m                      ⎤
                          Fr (t ) =                ⎢
                                          (r − 1)! ⎣ r
                                                            − ∑    p k K r ( xk − t ) ⎥ .
                                                              k =1                    ⎦
   Отсюда
                           1                                     1
                                                        M         (1 − t ) r m
                           ∫                                                − ∑ pk K r ( xk − t ) dt =
                                                     ( r − 1)! ∫0
            sup                 fdx − L( f ) =
      f ∈W0( r ) ( M ;0 ,1) 0                                         r       k =1

                                                 1
                                        M         ur m
                                                    − ∑ λ kK (u − uk ) du,
                                      (r − 1)! ∫0 r k =1 r
                                  =                                                                      (5)

где
                                λ k = pm−k +1 , u k = 1 − xm−k +1 , uk < uk +1 .                         (6)




                                                             37

Страницы