Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 39 стр.

                                          x2
среди многочленов второй степени             − Ax − B с коэффициентом
                                          2
                1
при x 2 , равным  , и произвольными A и B достигается для един-
                2
ственного многочлена:
        1 2 ⎛ x − a ⎞ x2         ⎛ h2 a2 ⎞               1
          h Q2 ⎜    ⎟=   − ax − ⎜⎜ − ⎟⎟ , Q1 ( x) = x 2 − .          (7)
        2      ⎝ h ⎠ 2           ⎝ 8  2 ⎠                4
  Этот минимум равен
                   a+h                    1
             1 2     ⎛x−a⎞      h3                    1      h3
              h ∫ Q2 ⎜   ⎟ dx =           ∫    x2 −     dx =    .    (8)
             2 a −h ⎝ h ⎠       2         −1
                                                      4      4
                            1 2 ⎛ x−a⎞
  Говорят, что многочлен      h Q2 ⎜       ⎟ наименее уклоняется от
                            2      ⎝ h ⎠
нуля в среднем на интервале (a − h, a + h) среди многочленов второй
                                               1
степени с коэффициентом при x 2 , равным . Взятая с обратным
                                               2
знаком линейная часть
                                      ⎛ h2 a2 ⎞
                                ax + ⎜⎜ − ⎟⎟                         (9)
                                      ⎝ 8  2 ⎠
             1 2 ⎛ x−a⎞
многочлена     h Q2 ⎜   ⎟ приближает наилучшим образом в сред-
             2      ⎝ h ⎠
                                               x2
нем на отрезке [a − h, a + h] функцию             с помощью многочленов
                                               2
                                h3
первой степени. Величину           называют наилучшим приближением
                                4
                         x2
в среднем функции           на отрезке [a − h, a + h] с помощью линейных
                         2
функций.




                                     39