Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

41
kk
BuA + )...,,2,1( mk = непрерывно продолжают друг друга в точках
m
uuu ,...,,
21
. Все вместе линейные функции на оси u образуют не-
прерывную ломаную.
Подберем
*
1
uu = так, чтобы
1
1
=
+m
u
; отсюда находим
m
u ω= 3
*
1
,
m
m
43
1
+
=ω
,
mk
ku ω−+= ))1(43(, 1,...,2,1
+
=
mk ,
m
h ω= 2
*
. (12)
Полученная ломаная )(
)2(
u
m
σ определена на отрезке
[
]
1,0 и являет-
ся одной из ломаных )(
)2(
u
m
∗
σ , которые мы должны выровнять, чтобы
найти минимум интеграла (5) при 2
=
r
. Докажем, что именно эта
ломаная обращает в минимум интеграл (5) и она единственная.
Величина интеграла при подстановке в него )(
)2(
*
u
m
σ вследствие
формул (8) и (12) равна
=σ−
∫
duu
u
m
)(
2
2
2
1
0
*
2
2
622
2
3
3*
0
**
2
0
2
0
*
1
*
*
0
m
mKK
U
U
m
K
u
m
n
duBuA
u
du
u
K
K
ω
=ω+=−−+
∫
∑
∫
+
=
,
где
**
KKK
BuAy += есть уравнение звена ломаной )(
)2(
*
n
m
σ , соответст-
вующего интервалу (
u
*
k
, u
*
k+1
).
С другой стороны, пусть )(
)2(
*
n
m
σ есть произвольная ломаная с
абсциссами вершин
u
*
k
, где
0 ≤
u
1
< u
2
< … < u
m
≤ u
m+1
= 1,
и пусть
KKK
BuAy += есть уравнение линейной функции, наилуч-
шим образом в среднем приближающей
2
2
u
на интервале (u
k
, u
k+1
).
Тогда, принимая во внимание формулу (8), имеем: 
Ak u + Bk (k = 1, 2, ..., m) непрерывно продолжают друг друга в точках
u1 , u2 ,..., um . Все вместе линейные функции на оси u образуют не-
прерывную ломаную.
   Подберем u = u1* так, чтобы u m+1 = 1 ; отсюда находим
                                                           1
                              u1* = 3ωm , ωm =                  ,
                                                         3 + 4m
            uk = ( 3 + 4(k − 1))ωm , k = 1,2,..., m + 1 , h* = 2ωm .             (12)
   Полученная ломаная σ (m2 ) (u ) определена на отрезке [0,1] и являет-
ся одной из ломаных σ (m2∗) (u ) , которые мы должны выровнять, чтобы
найти минимум интеграла (5) при r = 2 . Докажем, что именно эта
ломаная обращает в минимум интеграл (5) и она единственная.
   Величина интеграла при подстановке в него σ (m2*) (u ) вследствие
формул (8) и (12) равна
                                     1
                                           u2
                                     ∫     2
                                              − σ 2m* (u ) du =
                                     0

      u0*                  U K* +1
            u2       m
                                         u2                   n*3         ω2
      ∫        du + ∑        ∫              − AK* u − BK* du = 0 + 2mω3m = m ,
      0
            2       K =0    U K*
                                         2                     6           2

где y K = AK* u + BK* есть уравнение звена ломаной σ (m2*) (n) , соответст-
вующего интервалу (u*k , u*k+1).

     С другой стороны, пусть σ (m2*) (n) есть произвольная ломаная с
абсциссами вершин u*k , где
                 0 ≤ u1 < u2 < … < um ≤ um+1 = 1,
и пусть y K = AK u + BK есть уравнение линейной функции, наилуч-
                                       u2
шим образом в среднем приближающей         на интервале (uk, uk+1).
                                        2
Тогда, принимая во внимание формулу (8), имеем:



                                                 41

Страницы