Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

43
определяется узлами и весами
(
)
1
*
43,...,,2,1,4
−
+=ω=ω= mmkkx
mmk
;
(
)
mmmk
pmkp ω+=−=ω= 32,1...,,2,1,4
**
, (15)
является единственной наилучшей для класса функций )1,0;(
)2(
0
MW .
Иначе говоря, имеет место равенство
2
)(
2
1
0
)1,0;(
)(
max
min
1
0
m
MWf
fL
M
fLfdx
ω
=−
∫
∈
. (16)
Разбиение отрезка ]1,0[ )1...0(
**
2
*
1
<<<<<
m
xxx узлами
*
k
x обла-
дает тем свойством, что все отрезки разбиения, начиная от точки
0=x , равны одному и тому же числу
m
ω
4 и только последний отре-
зок равен
mm
x ω=− 31. Веса в формуле (15) равны одному числу:
mk
p ω= 4
*
, а вес последнего отрезка
(
)
mm
р ω+= 32. Эти свойства
наилучшей квадратурной формулы для класса )1,0;(
2
0
MW сохраняют-
ся и для более сложных наилучших формул, приспособленных для
классов )1,0;(
1
0
MW . Результат теоремы 7 можно перенести с отрезка
]1,0[ на произвольный отрезок ],[
β
α
. Узлы
*
k
x преобразуются по-
добным образом, веса
*
k
p увеличатся в
α
−
β
=
l раз и точная оценка
приближения для класса будет
2
)(
23
),;(
max
1
0
m
MWf
Ml
fLfdx
ω
=−
∫
β
α
∗
βα∈
, (17)
т. е. увеличится в
3
l
раз.
Полученная квадратурная формула имеет один недостаток. Она
дает гарантированную минимальную оценку
2
23
m
Ml ω
не для всех
функций, имеющих ограниченную вторую производную, а только
для тех, которые удовлетворяют начальному условию
0)0()0(
=
′
=
ff
. (18) 
определяется узлами и весами
             xk* = 4kωm , k = 1, 2, ..., m, ωm =                   (       3 + 4m    ) ;
                                                                                    −1



             pk* = 4ωm , k = 1, 2, ..., m − 1,              pm* = 2 +  (          3 )ω ,
                                                                                     m     (15)
является единственной наилучшей для класса функций W0( 2) ( M ;0,1) .
Иначе говоря, имеет место равенство
                                             1
                                                                   Mω2m
                  min          max           ∫
                   L ( f ) f ∈W01 ( M ; 0 ,1) 0
                                                  fdx − L( f ) =
                                                                    2
                                                                        .                  (16)

   Разбиение отрезка [0,1] (0 < x1* < x2* < ... < xm* < 1) узлами xk* обла-
дает тем свойством, что все отрезки разбиения, начиная от точки
x = 0 , равны одному и тому же числу 4ωm и только последний отре-
зок равен 1 − xm = 3ωm . Веса в формуле (15) равны одному числу:
                                                               (
pk* = 4ωm , а вес последнего отрезка рm = 2 + 3 ωm . Эти свойства             )
наилучшей квадратурной формулы для класса W02 ( M ;0,1) сохраняют-
ся и для более сложных наилучших формул, приспособленных для
классов W01 ( M ;0,1) . Результат теоремы 7 можно перенести с отрезка
[0,1] на произвольный отрезок [α, β] . Узлы xk* преобразуются по-
добным образом, веса pk* увеличатся в l = β − α раз и точная оценка
приближения для класса будет
                                       β
                                                              Ml 3ω2m
                        max            ∫
                    f ∈W01 ( M ;α ,β ) α
                                           fdx − L∗ ( f ) =
                                                                 2
                                                                      ,                    (17)

т. е. увеличится в l 3 раз.
    Полученная квадратурная формула имеет один недостаток. Она
                                                 Ml 3ω2m
дает гарантированную минимальную оценку                  не для всех
                                                   2
функций, имеющих ограниченную вторую производную, а только
для тех, которые удовлетворяют начальному условию
                            f (0) = f ′(0) = 0 .                (18)



                                                   43

Страницы