Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 44 стр.

   Следовательно, если пользоваться полученной формулой в слу-
чае, когда функция f ( x) не удовлетворяет условию (18), нужно
предварительно разложить f ( x) по формуле Тейлора вблизи x = 0 :
                       f ( x) = f (0) + xf ′(0) + ϕ( x) ,
и отдельно вычислить интеграл от функции f (0) + xf ′(0) , а затем
применять квадратурную формулу к функции ϕ( x) . Это гарантирует
                       Ml 3ω2m
приближение с оценкой             .
                            2
   Однако можно построить новую квадратурную формулу без ука-
занного недостатка. При этом квадратурная формула будет наилуч-
шей для всего класса W ( 2) ( M ;0,1) . Рассмотрим квадратурную фор-
мулу
                               1                m

                               ∫    fdx ≈       ∑ μ k f (ξ k ) ,             (19)
                               −1             k =− m

откуда получаем в силу равенств (15)
            μ k = μ −k = pk* = 5ωm,             − ξ −k = ξ k = xk* = 4hωm,
                  k = 1, 2, ..., m, μ 0 = 4ωm , ξ 0 = 0 .
   Таким образом, эта новая квадратурная формула, определенная на
отрезке [−1,1] , получена путем симметрии старой и добавления одно-
го узла ξ0 = 0 . При этом μ 0 подобрали так, чтобы
                                       m
                                      ∑ μk = 2 .
                                     k =− m

  Благодаря такому выбору и симметрии формула (19) точна для
линейных функций 1 и x , а следовательно, для любой линейной
функции. Формула (19) обладает следующим свойством.
  Теорема 8. Среди всевозможных квадратурных формул
                           1                m

                           ∫   fdx ≈       ∑ p k f ( xk )                    (20)
                          −1            k =− m




                                              44