Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

46
11. Наилучшая формула
для класса
),0;(
)1(
1
mMW
n
L
+
Построим квадратурную формулу на отрезке ],0[ m , где
m
– на-
туральное число, при равномерном разбиении отрезка узлами
)...,,1,0( mkkx
k
==
∫
∑
=
≈
m
m
k
k
kfpdxxf
0
0
)()( . (1)
Пусть функция )(
xf принадлежит классу
),0;(
)1(
mMW
n
L
+
. Если
квадратурная формула (1) точна для многочленов степени
n , то име-
ет место точная оценка:
2
1
2
0
1
),0(
1
0
),0;(
)()(
2
)1(
2
sup
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==−
∫∫
++
∈
+
dttFMFMfLfdx
m
n
mL
n
m
mMWf
n
L
, (2)
где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
−
=
∑
=
+
+
+
m
k
nk
n
n
tkKp
n
tm
n
tF
0
1
1
1
)(
1
)(
!
1
)(,
и функция )(
)1(
uK
n+
определяется с помощью равенства (3) из разд. 3.
В разд. 10 решалась экстремальная задача о нахождении миниму-
ма интеграла (2) в случае варьирования узлов. А. Сард [2] решал за-
дачу о нахождении минимума интеграла (2) для равностоящих узлов
и при этом варьировались веса
k
p , которые удовлетворяли условию:
квадратурные формулы точны для многочленов
n
P степени n :
∑
=
+
=
+
m
k
s
k
s
kp
s
m
0
1
1
, ns ...,,1,0
=
. (3)
А. Сард показал, что при заданных натуральных m и n , при ко-
торых система (3) имеет решения относительно
k
p , поставленная
экстремальная задача имеет единственное решение. Кроме того, 
                                    11. Наилучшая формула
                                    для класса WL( n+1) ( M ;0, m)
                                                                1

   Построим квадратурную формулу на отрезке [0, m] , где m – на-
туральное число, при равномерном разбиении отрезка узлами
xk = k (k = 0, 1, ..., m)
                                               m                 m

                                                ∫   f ( x)dx ≈ ∑ pk f (k ) .                           (1)
                                                0               k =0

   Пусть функция f ( x) принадлежит классу WL( n+1) ( M ;0, m) . Если
квадратурная формула (1) точна для многочленов степени n , то име-
ет место точная оценка:
                                                                                                 1
                               m                                                 ⎛m          2
                                                                                                 ⎞2
             sup               ∫ fdx − L( f ) = M        Fn+1                 = M ∫ Fn+1 (t ) dt ⎟ ,
                                                                                 ⎜                     (2)
      f ∈WL( n +1) ( M ; 0 ,m ) 0
                                                                L2 ( 0 ,m )      ⎜               ⎟
            2                                                                    ⎝0              ⎠
где
                                             1 ⎡ (m − t ) n+1 m                   ⎤
                               Fn+1 (t ) =      ⎢            − ∑ pk K n+1 (k − t )⎥ ,
                                             n! ⎣ n + 1        k =0               ⎦
и функция K ( n+1) (u ) определяется с помощью равенства (3) из разд. 3.
   В разд. 10 решалась экстремальная задача о нахождении миниму-
ма интеграла (2) в случае варьирования узлов. А. Сард [2] решал за-
дачу о нахождении минимума интеграла (2) для равностоящих узлов
и при этом варьировались веса pk , которые удовлетворяли условию:
квадратурные формулы точны для многочленов Pn степени n :
                                      m s +1 m
                                            = ∑ pk k s , s = 0, 1, ..., n .                            (3)
                                      s + 1 k =0
   А. Сард показал, что при заданных натуральных m и n , при ко-
торых система (3) имеет решения относительно pk , поставленная
экстремальная задача имеет единственное решение. Кроме того,



                                                           46

Страницы