Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 47 стр.

Сард разработал метод получения чисел pk , соответствующих экс-
тремальному решению. Метод позволяет эффективно найти точные
значения pk для каждой пары чисел (m, n) . Таблица наилучших
                                             ( n +1)
квадратурных формул для класса WL2                     ( M ;0, m) с равноотстоящи-
ми узлами на отрезке [0, m] приведена в [5] .

              12. Квадратурные формулы,
               в которые входят значения
                  производных формул
    Мы рассматриваем квадратурные формулы для вычисления опре-
деленного интеграла при известных значениях функции в отдельных
точках – узлах квадратурной формулы. Однако можно построить бо-
лее общие квадратурные формулы, в которые входят как значения
функции, так и значения производных функций того или иного по-
рядка. Квадратурная формула, в которую входят значения функ-
ции f (x) и ее производные до порядка ρ включительно в точках
x0 , x1 , ..., xm , в общем виде выглядит следующим образом:
                  1         m−1 ρ

                  ∫   fdx ≈ ∑∑ pkl f (l ) ( xk ) = L( f ) ,                    (1)
                  0         k =0 l =0

где pkl – заданные числа – веса; xk – заданные точки, удовлетво-
ряющие условию:
                     0 ≤ x0 < x1 < ... < xm−1 ≤ 1 .
    Если формула (1) точна для многочленов Pr−1 ( x) степени r − 1 ,
т. е. если для нее приближенное равенство обращается в точное при
подстановке вместо f любого многочлена Pr −1 , то для нее возможно
получить точное значение погрешности, выраженное через произ-
водную f ( r ) ( x) порядка r > ρ .
   Нашу формулу удобнее записать следующим образом:




                                        47