Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

49
∫
=
1
0
)(
)()( dttftF
r
r
, (3)
где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−λ−−=
∑∑
−
=
ρ
=
−
1
00
)(
)()1(
!
1
)(
m
kl
klr
l
k
r
r
txKt
r
tF . (4)
Получим точное равенство, выражающее оценку приближения
квадратурной формулы для данной функции )(xf , имеющей на ]1,0[
производную порядка
r
.
Квадратурная формула
∫
∑∑
=
′′
≈
−
=
ρ
=
b
a
m
kl
k
l
kl
fbaLxfpfdx );,()(
1
00
)(
соответствует отрезку ],[ ba и подобна формуле (1). Она имеет узлы
k
x
′
на отрезке ]1,0[ формулы (1). Веса
kl
p
′
связаны с
kl
p формулами
вида
kl
l
kl
php
1+
=
′
,
где
abh
−
= . Таким образом, усложненная квадратурная формула
имеет вид
∫
∑
−
=
+
ξξ≈
b
a
m
k
kk
fLfdx
1
0
1
);,(, k
n
ab
a
k
−
+=ξ
. (5)
Для этой формулы выполняются теоремы 1, 4–7 и все общие за-
ключения из разд. 7.
13. Интерполяционная формула Эрмита
Подобно тому, как интерполяционная формула Лагранжа служила
источником квадратурных формул вида (11) из разд. 1, интерполяци-
онная формула Эрмита может служить источником для квадратур-
ных формул вида (1) из разд. 12, содержащих в себе наряду с значе-
                                       1
                                    = ∫ Fr (t ) f ( r ) (t )dt ,            (3)
                                       0




где
                          1⎡             m −1 ρ
                                                                 ⎤
                             ⎢(1 − t ) − ∑∑ λ k K r −l ( xk − t )⎥ .
                                      r            (l )
              Fr (t ) =                                                     (4)
                          r! ⎣           k =0 l =0               ⎦
   Получим точное равенство, выражающее оценку приближения
квадратурной формулы для данной функции f (x) , имеющей на [0,1]
производную порядка r .
   Квадратурная формула
                    b          m−1 ρ

                    ∫   fdx ≈ ∑∑ pkl′ f (l ) ( xk′ ) = L(a, b; f )
                    a          k =0 l =0

соответствует отрезку [a, b] и подобна формуле (1). Она имеет узлы
xk′ на отрезке [0,1] формулы (1). Веса pkl′ связаны с pkl формулами
вида
                                       pkl′ = h l +1 pkl ,
где h = b − a . Таким образом, усложненная квадратурная формула
имеет вид
                b            m−1
                                                                   b−a
                ∫   fdx ≈ ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ) , ξ k = a +           k.   (5)
                a            k =0                                   n
  Для этой формулы выполняются теоремы 1, 4–7 и все общие за-
ключения из разд. 7.

      13. Интерполяционная формула Эрмита
   Подобно тому, как интерполяционная формула Лагранжа служила
источником квадратурных формул вида (11) из разд. 1, интерполяци-
онная формула Эрмита может служить источником для квадратур-
ных формул вида (1) из разд. 12, содержащих в себе наряду с значе-


                                              49

Страницы