Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

50
ниями интегрируемой функции значения ее производных того или
иного порядка.
Зададим на отрезке ],[ ba точки
110
,...,,
−m
xxx и соответствующие
им системы чисел
,,...,,
......,....................
,,...,,
,,...,,
)(
1
)1(
11
)(
1
)1(
11
)(
0
)1(
00
1
1
0
−
ρ
−−−
ρ
ρ
M
mmm
yyy
yyy
yyy
где
110
,...,,
−
ρρρ
m
– заданные натуральные числа.
Поставим задачу: построить многочлен )(xP степени
1...
110
−
+ρ++ρ+ρ=
−
mn
m
, который обладал бы свойствами
)()(
)(
l
kk
l
yxP = , 1...,,1,0
−
=
mk ,
k
l
ρ
=
...,,1,0
Искомый многочлен единственный. Действительно, если допус-
тить, что существует два таких многочлена, то их разность )(xQ
должна удовлетворять равенствам
0)(
)(
=
k
l
xQ , 1,...,1,0
−
=
mk ,
k
l ρ= ,...,1,0.
Следовательно, точки
k
x должны быть нулями )(xQ кратностей
1
+ρ
k
. Это означает, что многочлен )(xQ степени
n
должен делить-
ся на многочлен
∏
−
=
ρ
+
−
1
0
1
)(
m
k
k
k
xx
степени 1
+
n , а это возможно только, если 0)(
=
xQ .
Непосредственной проверкой можно убедиться, что многочлен
)(xP может быть записан в виде
∑∑
−
=
ρ
=
=
1
00
)(
)()(
m
kl
kl
l
k
k
xPyxP , (1)
где 
ниями интегрируемой функции значения ее производных того или
иного порядка.
   Зададим на отрезке [a, b] точки x0 , x1 ,..., xm−1 и соответствующие
им системы чисел
                                      (1)           ( ρ0 )
                              y0 , y0 ,..., y0                  ,
                                     (1)           ( ρ1 )
                              y1 , y1 ,..., y1              ,
                             ..........................,
                                             (1)                       ( ρ M −1 )
                              y m−1 , y m−1 ,..., y m−1                             ,
где ρ0 , ρ1 ,..., ρ m −1 – заданные натуральные числа.
   Поставим задачу: построить многочлен                    P(x)   степени
n = ρ0 + ρ1 + ... + ρ m−1 + m − 1 , который обладал бы свойствами
              P (l ) ( xk ) = yk(l ) , k = 0, 1, ..., m − 1 , l = 0, 1, ..., ρ k
   Искомый многочлен единственный. Действительно, если допус-
тить, что существует два таких многочлена, то их разность Q (x)
должна удовлетворять равенствам
                Q (l ) ( xk ) = 0 , k = 0,1,..., m − 1 , l = 0,1,..., ρk .
    Следовательно, точки xk должны быть нулями Q(x) кратностей
ρ k + 1 . Это означает, что многочлен Q(x) степени n должен делить-
ся на многочлен
                                     m−1
                                     ∏ ( x − xk ) ρ             k +1

                                     k =0

степени n + 1 , а это возможно только, если Q ( x) = 0 .
  Непосредственной проверкой можно убедиться, что многочлен
P(x) может быть записан в виде
                                            m −1 ρk
                               P( x) = ∑∑ yk(l ) Pkl ( x) ,                             (1)
                                            k =0 l =0
где



                                               50

Страницы