Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

51
)(
)(
1
1
)(
)(
)(!
)(
)(
l
x
k
l
k
kl
k
k
k
k
xA
xx
xxl
xA
xP
−ρ
+ρ
−+ρ
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
=
, (2)
∏
−
=
+ρ
−=
1
0
1
)()(
m
k
k
k
xxxA , 1...,,1,0
−
=
mk ,
k
l
ρ
=
...,,1,0.
Многочлен )(xP
kl
подобран так, чтобы он имел степень n и удов-
летворял условиям
1)(
)(
=
s
i
kl
xP , если одновременно ,, ilsk
=
=
0)(
)(
=
s
i
kl
xP в остальных случаях,
.,,1,0,1,,1,0
k
lmk ρ
=
−
=
KK
(3)
Это следует из того, что
...)(1
)(
1
)(
1
)(
)(
+−+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
ϕ
ϕ
+μ
μ
axK
x
x
a
(4)
Формуле (1) соответствует общая приближенная интерполяцион-
ная формула Эрмита
∑∑
=
ρ
=
=
m
kl
k
l
xPxfxf
k
00
)(
)()(~)( , (5)
которая приводит в соответствие заданной функции )(xf многочлен
)(xP степени n , удовлетворяющий условиям
)()(
)()(
k
l
k
l
xPxf = ,
1...,,1,0
−
= mk ,
k
l
ρ
=
...,,1,0.
Если проинтегрировать левую и правую части приближенного ра-
венства (5), то получим квадратурную формулу
∫
b
a
fLdxxf )(~)( , (6)
где
∑∑
−
=
ρ
=
′
=
1
00
)()(
)()(
m
kl
k
ll
k
k
xfpfL , 
                                                                        ( ρk −l )
                                     A( x)         ⎧ ( x − xk )ρk +1 ⎫
                   Pkl ( x) =                      ⎨                 ⎬   ,             (2)
                              l!( x − xk ) ρk +1−l ⎩ A( x) ⎭( x )
                                                                       k

                     m −1
            A( x) = ∏ ( x − xk ) ρk +1 , k = 0, 1, ..., m − 1 , l = 0, 1, ..., ρ k .
                     k =0

   Многочлен Pkl (x) подобран так, чтобы он имел степень n и удов-
летворял условиям
      Pkl(i ) ( xs ) = 1 , если одновременно k = s, l = i,
      Pkl(i ) ( xs ) = 0 в остальных случаях, k = 0, 1, K, m − 1, l = 0, 1, K, ρk . (3)
  Это следует из того, что
                                     (μ )
                         ⎧ 1 ⎫                     μ +1
                    ϕ( x)⎨       ⎬ = 1 + K ( x − a) + ...                              (4)
                         ⎩ ϕ( x) ⎭( a )
   Формуле (1) соответствует общая приближенная интерполяцион-
ная формула Эрмита
                                            m ρk
                              f ( x) ~ ∑∑ f (l ) ( xk ) = P( x) ,                      (5)
                                          k = 0 l =0

которая приводит в соответствие заданной функции f (x) многочлен
P(x) степени n , удовлетворяющий условиям
                                    f ( l ) ( xk ) = P ( l ) ( xk ) ,
                            k = 0, 1, ..., m − 1 , l = 0, 1, ..., ρ k .
   Если проинтегрировать левую и правую части приближенного ра-
венства (5), то получим квадратурную формулу
                                      b

                                      ∫ f ( x)dx ~ L( f ) ,                            (6)
                                      a

где
                                             m−1 ρk
                              L ( f ) = ∑∑ pk′(l ) f (l ) ( xk ) ,
                                             k =0 l =0




                                                       51

Страницы