Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

53
Отсюда мера приближения произвольной квадратурной формулы
для класса )1,0;(
0
MW
r
равна
dttxKt
r
M
fLfdx
m
k
x
r
l
r
l
k
r
MWf
r
m
r
∫
∑∑
∫
=
−
=
−
∈
−λ−−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=ε
1
0
1
1
0
1
)(
1
0
)1,0;(
)(
)()1(
!
)(
sup
)(
0
. (3)
Сделав замену
)1(
1
)(
1
,1,1
−−
+−+−
μ=λ−=θ=−
lr
km
l
kkmk
xut , (4)
получим
duuKu
r
M
m
k
r
l
kl
l
k
rr
m
∫
∑∑
=
−
=
+
θ−μ−=ε
1
0
1
1
1
1
)()(
)(
!
. (5)
При произвольных числах
)(l
k
μ сумма
∑
−
=
+
θ−μ
1
1
1
)(
)(
r
l
kl
l
k
uK
.
На отрезке ],[
1+
θθ
kk
есть произвольный многочлен степени 1−
r
,
обращающийся в нуль при )1,...,,2,1(
1
=
θ
=
θ
=
+mk
mku .
Таким образом, принимая во внимание, что
0)( =
θ
−
ks
uK
для
k
u θ≤ , 1>s , получаем, что двойная сумма
)()(
1
)(
1
1
1
)(
kl
l
k
m
k
r
l
r
m
uKu θ−μ=σ
+
=
−
=
∑∑
(6)
представляет собой произвольную, непрерывную на отрезке ],0[
1
θ
функцию равную некоторому многочлену степени 1
−
r
на отрезке
],[
1+
θθ
kk
)...,,2,1( mk = .
Задача свелась к нахождению минимума интеграла (5) для
фиксированного
m
при варьировании узлов
k
θ
, удовлетворяющих
неравенствам
1...0
21
≤
θ
<
<
θ
<
θ
≤
m
,
и чисел )(
)(
u
r
m
μ , или, иначе говоря, при варьировании функций
)(
)(
u
r
m
σ . 
   Отсюда мера приближения произвольной квадратурной формулы
для класса W0r ( M ;0,1) равна
                             ⎡1             ⎤ M1              m r −1
ε (mr ) =                    ⎢∫ fdx − L( f )⎥ = ∫ (1 − t ) − ∑∑ λ k K r −1 ( x x − t ) dt . (3)
                                                          r            (l )
                sup
                             ⎢0
            f ∈W0 ( M ; 0,1) ⎣
                 (r)
                                            ⎦⎥ r! 0          k =1 l =0

    Сделав замену
                         1 − t = u , θ k = 1 − xm−k +1 , λ(kl ) = μ (mr−−kl −+11) ,        (4)
получим
                                         1             m r −1
                                    M
                        ε (mr ) =        ∫ u − ∑∑ μ k K l +1 (u − θk ) du .
                                            r       (l )
                                                                                           (5)
                                    r!   0            k =1 l =1

    При произвольных числах μ (lk ) сумма
                                             r −1
                                             ∑ μ (kl ) K l +1 (u − θk ) .
                                             l =1

   На отрезке [θ k , θ k +1 ] есть произвольный многочлен степени r − 1 ,
обращающийся в нуль при u = θ k (k = 1, 2, ..., m, θ m+1 = 1) .
   Таким образом, принимая во внимание, что K s (u − θ k ) = 0 для
u ≤ θ k , s > 1 , получаем, что двойная сумма
                                                    m r −1        (l )
                                σ(mr ) (u ) = ∑∑ μ K l +1 (u − θ k )                       (6)
                                                    k =1 l =1     k

представляет собой произвольную, непрерывную на отрезке [0, θ1 ]
функцию равную некоторому многочлену степени r − 1 на отрезке
[θ k , θ k +1 ] (k = 1, 2, ..., m) .
       Задача свелась к нахождению минимума интеграла (5) для
фиксированного m при варьировании узлов θ k , удовлетворяющих
неравенствам
                                     0 ≤ θ1 < θ 2 < ... < θ m ≤ 1 ,
и чисел μ (mr ) (u ) , или, иначе говоря, при варьировании функций
σ(mr ) (u ) .


                                                           53

Страницы