Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

55
или
1
hh = , так как при четном
r
)1()1(
−
=
rr
QQ
.
Зададим положительное число
1
θ
и пусть
1
θ
=
−
ha , где 0>h .
Подберем h таким образом, чтобы многочлен )(
1,1
uP
r−
, наилучшим
образом приближающий функцию
r
u на отрезке ],[ haha
+
−
, где
1
θ=− ha , обращался в нуль при функции
1
θ
=
u . Вследствие равен-
ства (8) имеем
0)1()1()(
11,1
=−=−θ=θ
−
QhQQhP
rr
r
rr
r
.
Отсюда вытекает, что
r
r
hQ )1(
1
=θ , (9)
и так как
α
α+
==
+
=
→α→
sin2
)1sin(
lim)(lim
2
1
)1(
01
r
r
x
r
r
r
xQ
r
Q ,
то
h
r
r
2
1
1
+
=θ
.
Пусть теперь
r
r
k
r
kr
hk
1
)1(41
)1(2
11
+
−++
θ=−+θ=θ
.
Тогда, если мы на каждом из отрезков ];[
1+
θ
θ
kk
определим мно-
гочлены )(
,1
uP
kr−
, наилучшим образом в среднем приближающие со-
ответственно на отрезках функцию
r
u , то графики этих многочленов
вместе с отрезком
],0[
1
θ
, лежащим на оси u , образуют на отрезке
],0[
1+
θ
m
непрерывную кривую.
Мы уже убедились в том, что эта кривая непрерывна в точке
1
θ .
Пусть теперь
k
a
есть середина отрезка
],[
1+
θ
θ
kk
, т. е.
ha
kk
−=
θ
,
ha
kk
+
=θ
+1
. Тогда 
или h = h1 , так как при четном r
                                   Qr (1) = Qr (−1) .
  Зададим положительное число θ1 и пусть a − h = θ1 , где h > 0 .
Подберем h таким образом, чтобы многочлен Pr−1,1 (u ) , наилучшим
образом приближающий функцию u r на отрезке [a − h, a + h] , где
a − h = θ1 , обращался в нуль при функции u = θ1 . Вследствие равен-
ства (8) имеем
                    Pr −1,1 (θ) = θ1r h r Qr (−1) = Q r − h r Q(1) = 0 .
     Отсюда вытекает, что
                                     θ1 = r Qr (1)h ,                        (9)
и так как
                            r +1                     sin( r + 1)α
                Qr (1) =       r
                                 = lim Qr ( x) = lim r            ,
                             2     x→1           α →0 2 sin α

то
                                           r
                                               r +1
                                    θ1 =            h.
                                                2
     Пусть теперь
                                                    r
                                                        r + 1 + 4(k − 1)
                 θ k = θ1 + 2( k − 1)h = θ1                              .
                                                            r
                                                              r +1
   Тогда, если мы на каждом из отрезков [θ k ; θ k +1 ] определим мно-
гочлены Pr −1,k (u ) , наилучшим образом в среднем приближающие со-
ответственно на отрезках функцию u r , то графики этих многочленов
вместе с отрезком [0, θ1 ] , лежащим на оси u , образуют на отрезке
[0, θ m+1 ] непрерывную кривую.
     Мы уже убедились в том, что эта кривая непрерывна в точке θ1 .
Пусть теперь ak есть середина отрезка [θ k , θ k +1 ] , т. е. θ k = ak − h ,
θ k +1 = ak + h . Тогда



                                               55

Страницы