Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 54 стр.

   Введем определенную на отрезке [a − h, a + h] функцию
                                    ⎛x−a⎞
                             h r Qr ⎜   ⎟, h > 0 ,                        (7)
                                    ⎝ h ⎠

где
                             sin[(r + 1) arccos x ]
                 Qr ( x) =                             , −1 ≤ x ≤ 1.
                                  2r 1 − x 2
   Функция (7) есть алгебраический многочлен степени r
                     ⎛x−a⎞              r −1      r −2
              h 2 Qr ⎜        r
                         ⎟ = x + ar −1 x + ar −2 x + ... + a0
                     ⎝ h ⎠
с коэффициентом при x r , равным 1. Такой многочлен (7) называем
многочленом степени r , наименее уклоняющимся от нуля в среднем
на отрезке [a − h, a + h] . Этот многочлен можно трактовать так:
                               a+h

                                ∫≤ x
                                       r
                                           − Pr −1 ( x) dx ,
                               a−h

где Pr−1 ( x) – произвольный алгебраический многочлен степени r − 1 ;
достигает своего наименьшего значения в случае единственного мно-
гочлена Pr−* 1 ( x) , для которого
                                    ⎛ x−a⎞
                             h r Qr ⎜         r    *
                                         ⎟ = x − Pr −1 ( x) .             (8)
                                    ⎝ h ⎠
   Многочлен Pr−* 1 ( x) называют наилучшим многочленом степени
r − 1 , приближающим в среднем на отрезке [a − h, a + h] функцию
x r . Если r четные, то для того, чтобы два многочлена вида (7), наи-
менее уклоняющиеся от нуля на отрезках [a − h, a + h] и
[b − h1 , b + h1 ] , где a + h = b − h1 , совпадали в точках a + h , необходи-
мо и достаточно выполнение условия h = h1 . Действительно, то что
многочлены равны в точке a + h , эквивалентно равенству
                              h r Qr (1) = h1r Qr ( −1) ,


                                            54