Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

56
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=−
−
h
au
QhuPu
k
rkr
r
3
,1
)(
на
(
)
1
,
+
θ
θ
kk
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
=−
+−
h
au
QhuPu
k
rkr
r
1
)(
3
1,1
на
(
)
21
,
++
θ
θ
kk
.
Подставив в эти функции одно и то же значение
hau
k
=+=
ha
k
−
=
, получим равные числа )1()1( −=
r
r
r
r
QhQh , откуда
)()(
11,11,1 ++−+−
θ=
kkrkkr
PQP , 1...,,2,1
−
=
mk .
Подберем
1
θ
так, чтобы
1
1
=
θ
+m
, тогда
,
14
2
,...,,2,1,
14
1)1(4
*
*
r
n
r
r
k
rm
h
mk
rm
rk
++
=
=
++
+−
=θ
(10)
и соответствующая полученной системе точек
*
k
θ кривая будет яв-
ляться одной из определенных выше кривых )(
)(
u
r
m
σ . Обозначим эту
кривую
)(
)(
*
u
r
m
σ
и докажем, что именно для нее и только для нее ин-
теграл (5) достигает своего минимума.
Пусть
mk
kk
k
...,,2,1,
2
*
1
*
=
θ+θ
=θ
+
.
Величина нашего интеграла при подстановке в него
)(
)(
*
u
r
m
σ равна
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ−
+=σ−
∑
∫∫∫
=
+θ
−θ
θ
m
k
h
h
k
r
rrr
m
r
k
k
du
h
u
Qhduu
r
duuu
r
1
*
*
0
1
0
)(
*
*
1
*
!
1
)(
!
1
)14(!
1
2
1
)(
!
1
1
1
*
1*
1
r
r
rr
rmr
mh
rr
++
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
θ
=
−
++
. (11)
С другой стороны, если )(
)(
u
r
m
σ – произвольная определенная вы-
ше функция, то она имеет такой вид: 
                                             ⎛ u − ak ⎞
                  u r − Pr −1,k (u ) = h 3Qr ⎜        ⎟ на (θ k , θ k +1 ) ,
                                             ⎝ h ⎠
                                      ⎛ u − ak + 1 ⎞
        u r − Pr −1,k +1 (u ) = h 3Qr ⎜            ⎟ на (θ k +1 , θ k +2 ) .
                                      ⎝     h      ⎠
   Подставив в эти функции одно и то же значение u = ak + h =
= ak − h , получим равные числа h r Qr (1) = h r Qr (−1) , откуда
                 Pr −1,k (Qk +1 ) = Pr −1,k +1 (θ k +1 ) , k = 1, 2, ..., m − 1 .
   Подберем θ1 так, чтобы θm+1 = 1 , тогда
                               4(k − 1) r r + 1
                       θ*k =                       , k = 1, 2, ..., m,
                              4m + r r + 1                                                     (10)
                                  2
                       hn* =              ,
                             4m + r r + 1
и соответствующая полученной системе точек θ*k кривая будет яв-
ляться одной из определенных выше кривых σ (mr ) (u ) . Обозначим эту
кривую σ (mr*) (u ) и докажем, что именно для нее и только для нее ин-
теграл (5) достигает своего минимума.
   Пусть
                         θ* + θ*k +1
                     θk = k          , k = 1, 2, ..., m .
                             2
   Величина нашего интеграла при подстановке в него σ (mr*) (u ) равна

                                   1⎡1 r                                            ⎞ ⎤
                                        θ*         m θk + h
       1
          1
                                                                      ⎛ u − θk
          ∫
       r! 0
            u r
                − σ (r )
                    m*   (u ) du =    ⎢ ∫
                                   r! ⎢ 0
                                           u du + ∑       ∫   h*r Qr ⎜⎜             ⎟ du ⎥ =
                                                                                    ⎟ ⎥
                                      ⎣           k =1 θ − h
                                                        k   *         ⎝ h*          ⎠ ⎦

                      1 ⎡ (θ1* ) r +1 mh*r +1 ⎤        1
                  =      ⎢           + r −1 ⎥ =                .                               (11)
                      r! ⎣ r + 1       2      ⎦ r!(4m + r + 1)
                                                        r


  С другой стороны, если σ (mr ) (u ) – произвольная определенная вы-
ше функция, то она имеет такой вид:


                                              56

Страницы