Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

58
Отсюда, разлагая
r
u по степеням
*
1
θ−u и сравнивая коэффициен-
ты при одинаковых степенях, получаем:
[]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−
−
=μ
−
−
)1()1(
)!(
!
!
)(
)1(
1
*
)(
*1
l
r
r
r
r
r
l
QQ
lr
r
l
h
, (15)
,1...,,2,1
−
=
rl
и, подставляя вместо )1(
r
Q и
*
h их величины, получаем:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+
−
++
=μ
−
−
−
)1(2)1(
)!(
!
)14(!
1
)(
)1(
)(
*1
l
r
lr
r
r
lr
r
l
Qr
lr
r
rml
, (16)
.1...,,2,1
−
=
rl
Если учесть свойства функций )(
1 kl
uK
θ
−
+
, то нетрудно увидеть,
что на отрезке ],[
*
1
*
+
θθ
kk
функция, стоящая под знаком абсолютной
величины в интеграле (5), при
)(
*1
)( ll
k
μ=μ равна:
∑
−
=
θ−μ−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ−
+−
1
1
)(
*
*
*
*
)(1
r
l
l
k
l
k
k
r
r
u
h
u
Qh , mk ...,,3,2
=
.
Если принять во внимание, что при четном
r
функция )(xQ
r
чет-
ная, то )1()1()1(
)()( l
r
ll
r
QQ −=− , тогда
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ−
+−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ−
+−=θ−μ
∑
−
=
1
1
*
*
*
*
*
*)(
*
11)(
r
l
k
r
k
r
rl
k
l
k
k
u
Q
h
u
Qhu
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
θ−
++
′′′
θ−
+
′
θ−
=
−
−
−
)1(
)!1(
)(
...)1(
!3
)(
)1(2
)1(
1
*
1*
3
*
3*
*
*
*
r
r
r
r
k
r
k
r
k
r
Q
hr
u
Q
h
u
Q
h
u
h .
Таким образом, для mk ...,,3,2
=
,
2
2
...,,2,1,0
)2(
*
−
==μ
r
i
i
k
2
2
...,,1,0),1(
)!12(
2
)12(
12
*
)12(
*
−
=
+
=μ
+
−−
+
r
iQ
i
h
i
r
ir
i
k
. 
   Отсюда, разлагая u r по степеням u − θ1* и сравнивая коэффициен-
ты при одинаковых степенях, получаем:


                               h*r −1 ⎧ r!
                                                [Qr (1)] r − Qr(l ) (−1)⎫⎬ ,
                                                        ( r −1)
                   μ1(*l ) =          ⎨                                                                    (15)
                                 l! ⎩ (r − l )!                          ⎭
                                                  l = 1, 2, ..., r − 1,
и, подставляя вместо Qr (1) и h* их величины, получаем:
                                1                ⎡ r!                ( r −1)                         ⎤
                                                                             r − 2 r −l Q ( l ) ( −1) ,
      μ1(*l ) =                           r −l   ⎢ (r − l )! (r + 1)                     r           ⎥     (16)
                  l!( 4m + r r + 1)              ⎣                                                   ⎦
                                                 l = 1, 2, ..., r − 1.
    Если учесть свойства функций K l +1 (u − θ k ) , то нетрудно увидеть,
что на отрезке [θ*k , θ*k +1 ] функция, стоящая под знаком абсолютной
величины в интеграле (5), при μ (kl ) = μ1(*l ) равна:
                          ⎛       u − θ*k        ⎞ r −1 (l )
                  h*r Qr ⎜⎜ − 1 +                ⎟ − ∑ μ k* (u − θ k ) l , k = 2, 3, ..., m .
                                    h*           ⎟
                          ⎝                      ⎠ l =1
    Если принять во внимание, что при четном r функция Qr (x) чет-
ная, то Qr(l ) ( −1) = (−1)l Qr(l ) (1) , тогда
          r −1                         ⎡ ⎛         u − θ*k             ⎞      ⎛       u − θ*k       ⎞⎤
          ∑ k* μ (l )
                      (u − θ* l
                             k ) = h r
                                         Q
                                    * ⎢ r⎜
                                           ⎜ − 1 +
                                                     h*
                                                                       ⎟ − Qr ⎜ − 1 +
                                                                       ⎟      ⎜         k*
                                                                                                    ⎟⎥ =
                                                                                                    ⎟
          l =1                         ⎣⎢ ⎝                            ⎠      ⎝                     ⎠⎦⎥
             ⎡ u − θ*k           (u − θ*k )3                 (u − θ*k ) r −1 ( r −1) ⎤
      = 2h*r ⎢         Qr′ (1) +         3
                                             Qr′
                                               ′′(1) + ... +             r −1
                                                                              Qr    (1)⎥ .
             ⎣⎢ h*                 3! h*                     (r − 1)!h*                ⎦⎥
    Таким образом, для k = 2, 3, ..., m
                                                                          r−2
                                       μ (k2*i ) = 0, i = 1, 2, ...,          ,
                                                                           2
                                       2h*r −2i −1 ( 2i +1)                     r−2
                       μ (k2*i +1) =              Qr        (1), i = 0, 1, ...,     .
                                       (2i + 1)!                                 2


                                                           58

Страницы