Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

60
П р и м е ч а н и е.
*
h есть функция от m , а веса
)(
*
l
k
λ имеют вид
1
*
)(
,
)(
*
+
=λ
ll
kr
l
k
hC и не зависят от
*
h . При 1...,,2,1
−
=
mk коэффициенты
)(
,
l
kr
C равны одному и тому же числу. Соответствующая наилучшая
квадратурная формула на отрезке ],[ ba длины
abd
−
=
для класса
),;(
)(
0
baMW
r
имеет узлы ),...,2,1(2
**
mkdkhax
k
=
+
=
′
и веса
()
1
*
)(
,
);(
*
)(
+
=
′
λ
ll
kr
l
k
dhC . Полученную в теореме 10 квадратурную форму-
лу, наилучшую для класса )1,0;(
1
0
MW , можно симметрировать и
прийти к квадратурной формуле, наилучшей для класса
)1,1;(
)(
−MW
r
. Сформулируем и докажем следующую теорему.
Теорема 11. Среди квадратурных формул вида
∫
∑∑
−=
−
=
=−−λ≈
1
0
2
0
)()(
)()()!1(
!
1
)(
m
mk
r
l
k
ll
k
fLxflr
r
dxxf,
определяемых при фиксированных
r
m,
(
r
-четное) произвольными
коэффициентами
l
k
λ и узлами 1......1
101
<<
<
<
<
<
<
<
−
−− mm
xxxxx ,
наилучшей для класса )1,1;(
)(
−MW
r
является единственная формула
∫
−
≈
1
1
)(
~
)( fLdxxf
с коэффициентами
)(l
k
μ и узлами
k
y , выраженными равенствами
;,...,1,0,4 mkkyy
mkk
=
ω
=
=−
−
(20)
)1()2(
)!12(
2
)12(12)2(
*
)2()2( −−+
−
ω
−−
=λ=μ=μ
ir
r
i
m
i
k
i
k
i
k
Q
ir
, (21)
;
2
4
...,,1,0),1(...,),1(
;
2
2
...,,1,0,1...,,1,0
−
=−−−=
−
=−=
r
immk
r
imk
(22) 
   П р и м е ч а н и е. h* есть функция от m , а веса λ(kl*) имеют вид
λ(kl*) = Cr(,lk) h*l +1 и не зависят от h* . При k = 1, 2, ..., m − 1 коэффициенты
Cr(,lk) равны одному и тому же числу. Соответствующая наилучшая
квадратурная формула на отрезке [a, b] длины d = b − a для класса
W0( r ) ( M ; a, b) имеет узлы xk′ * = a + 2kh* d (k = 1,2,..., m) и веса
( )     ′
λ(kl *;) = Cr(,lk) (h*d ) l +1 . Полученную в теореме 10 квадратурную форму-
лу, наилучшую для класса W01 ( M ;0,1) , можно симметрировать и
прийти к квадратурной формуле, наилучшей для класса
W ( r ) ( M ;−1,1) . Сформулируем и докажем следующую теорему.
   Теорема 11. Среди квадратурных формул вида
             1
                                1 m r −2 ( l )
             ∫   f ( x)dx ≈         ∑     ∑
                                r! k =− m l =0
                                               λ k (r − l − 1)! f (l ) ( xk ) = L( f ) ,
             0

определяемых при фиксированных m, r ( r -четное) произвольными
коэффициентами λlk и узлами − 1 < x−m < ... < x−1 < x0 < x1 < ... < xm < 1 ,
наилучшей для класса W ( r ) ( M ;−1,1) является единственная формула
                                         1
                                                            ~
                                         ∫ f ( x)dx ≈ L ( f )
                                         −1

с коэффициентами μ (lk ) и узлами yk , выраженными равенствами
                       − y−k = yk = 4kωm , k = 0,1,..., m;                                      (20)
                                                    2
           μ (−2ki ) = μ (k2i ) = λ(k2*i ) =                 (2ωm ) 2i +1 Qr( r −2i −1) (1) ,   (21)
                                               (r − 2i − 1)!
                                                          r−2
                          k = 0, 1, ..., m − 1, i = 0, 1, ...,   ;
                                                              2
                                                                                                (22)
                                                                r−4
                     k = −(m − 1), ..., (m − 1), i = 0, 1, ...,     ;
                                                                 2




                                                     60

Страницы