Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

59
Пересчет на исходные узлы
*
k
x и коэффициенты
)(
*
l
k
λ приводит к
следующим результатам:
;...,,2,1,2
*
*
mkkhx
k
==
;1...,,2,1,
2
4
...,,1,0,0
)12(
*
−=
−
==λ
+
mk
r
i
i
h
)1(
)!12(
2
)12(
12
*
)2(
*
−−
+
−−
=λ
ir
r
i
i
k
Q
ir
h
(17)
;1...,,2,1,
2
2
...,,1,0 −=
−
= mk
r
i
[]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−
+−−
=λ
−−
+
+
)1()1(
)!1(
!
)!1(
)1(
1
1
*
)(
*
lr
r
r
l
r
l
l
m
QQ
l
r
lr
h
, ,2...,,1,0 −
=
rl
где
m
r
rm
h ω=
++
= 2
14
2
*
. (18)
Доказана следующая теорема.
Теорема 10. Среди квадратурных формул вида (1), определяемых
при фиксированных
r
m, (четном) произвольными коэффициентами
)(l
k
λ и узлами
k
x , где 1...0
21
≤
<
<
<
≤
m
xxx , наилучшей для класса
)1,0;(
)(
0
MW
r
является единственная формула
∫
≈
1
0
*
)( fLfdx
с коэффициентами
)(
*
l
k
λ и узлами
*
k
x , выражаемыми с помощью (17),
(18) и с мерой уклонения, равной
!
)(
1
0
*
)1,0;(
sup
)(
0
r
MfLfdx
r
m
MWf
r
ω
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
∫
∈
. (19)
Оценка (19) следует из (13), где в правой части надо положить
*
kk
θ=θ . 
   Пересчет на исходные узлы xk* и коэффициенты λ(kl*) приводит к
следующим результатам:
                                     xk* = 2kh* , k = 1, 2, ..., m;
                                                          r−4
                      λ(h2*i +1) = 0, i = 0, 1, ...,          , k = 1, 2, ..., m − 1;
                                                           2
                                                 2h*2i +1
                                 λ(k2*i ) =                 Qr( r −2i −1) (1)                     (17)
                                              (r − 2i − 1)!
                                                r−2
                              i = 0, 1, ...,        , k = 1, 2, ..., m − 1;
                                                 2
                      h*l +1 ⎧ r!
                                           [Qr (1)] r − Qr( r −l −1) (−1)⎫⎬ , l = 0, 1, ..., r − 2,
                                                   l +1
      λ(ml )* =                 ⎨
                  ( r − l − 1)! ⎩ (l + 1)!                                ⎭
где
                                                      2
                                     h* =                       = 2ωm .                           (18)
                                               4m + r r + 1
  Доказана следующая теорема.
  Теорема 10. Среди квадратурных формул вида (1), определяемых
при фиксированных m, r (четном) произвольными коэффициентами
λ(lk ) и узлами xk , где 0 ≤ x1 < x2 < ... < xm ≤ 1 , наилучшей для класса
W0( r ) ( M ;0,1) является единственная формула
                                                 1

                                                ∫ fdx ≈ L* ( f )
                                                 0

с коэффициентами λ(kl *) и узлами xk* , выражаемыми с помощью (17),
(18) и с мерой уклонения, равной
                                                     ⎡1 ⎤    ωr
                                  sup ⎢ ∫ fdx − L* ( f )⎥ = M m .                                 (19)
                              f ∈W0( r ) ( M ; 0 ,1) ⎢
                                                     ⎣0 ⎥⎦    r!
    Оценка (19) следует из (13), где в правой части надо положить
θ k = θ*k .


                                                          59

Страницы