Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 61 стр.

                                          2(2ωm ) l +1 ⎡ r!                                     ⎤
                                                                         l +1
   (−1) i μ (−lm) = μ (ml ) = λ(ml )* =                 ⎢          Qr (1) r − Qr( r −l −1) ( −1)⎥ ;            (23)
                                          (r − l − 1)! ⎣⎢ (l + 1)!                              ⎦⎥

                                            (
                                   ωm = 4 m + r r + 1           )−1
                                                                      (λ(kl*) , xk* ) .
     При этом
                                                 1
                                                              ~         2Mωrm
                                   sup               ∫
                              f ∈W ( t ) ( M ; −1,1) −1
                                                        fdx − L ( f ) =
                                                                          r!
                                                                              .                                (24)

     Видим, что узлы yk и веса μ (lk ) новой квадратурной формулы с
2m + 1 узлами, наилучшей для класса W r ( M ;−1,1) , получаются сим-
метризацией узлов и весов формулы, наилучшей для класса
W0( r ) ( M ;0,1) , и добавлением одного среднего узла y0 вместе с весами
λ(kl*)    ( k = ±1,±2,...,± (m − 1)) .
   Доказательство. Будем рассматривать квадратурные формулы (20),
точные для многочленов Pr −1 . Имеем
                            ⎡1       1 m r −2 (l )                   ⎤
                            ⎢ ∫ fdx − ∑ ∑ λ k ( r − l − 1)! f ( xk ) ⎥ =
                                                             (l )
           sup
     f ∈W ( r ) ( M ; −1,1) ⎢
                            ⎣ −1     r! k =− m l =0                  ⎥⎦
                                ⎡1         1 m r −2 ⎤
    =          sup              ⎢∫   fdx −     ∑ ∑ ⎥=
                                           r! k =− m l =0 ⎥⎦
               0
                                ⎢
         f ∈Wx( r ) ( M ; −1,1) ⎣ −1

                                   ⎡ x0     1 −1 r −2 ⎤                                   ⎡1       1 m r −2 ⎤
    =          sup                 ⎢ ∫ fdx − ∑ ∑ ⎥ +                   sup                ⎢ ∫ fdx − ∑∑ ⎥ ≥
                                   ⎢ −1
         f ∈Wx( r ) ( M ; −1, x0 ) ⎣        r! k =− m l =0 ⎥⎦                             ⎢0
                                                                f r ∈Wx( r ) ( M ; x0 ,1) ⎣        r! k =1 l =0 ⎦⎥
               0                                                        0




           [                                    ]ωr! ≥ 2rM! ω
                                                     r
   ≥ M ( x0 + 1) r +1 + (1 − x0 ) r +1               m                r
                                                                      m.                                       (25)

   Подставляя в квадратурную формулу (20) вместо вектора узлов и
весов [( xk = y k (k = − m,..., m), λ(kl ) = λ(kl ) (k = ±1,±2,...,± m)] единицу,
получим уравнение, из которого находится λ(00 ) = μ (00) . Подставляя
далее x , находим μ (01) и так далее до μ (0r − 2 ) . Остается проверить, что




                                                         61