Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 62 стр.

UptoLike

Составители: 

62
функция
1r
x
автоматически обращает в равенство полученную та-
ким образом квадратурную формулу.
Но в силу нечетности 1
r
0
1
1
=
dxx
r
.
Кроме того,
=
==μ
m
mk
lr
k
l
k
rly .2...,,1,0,0
1)(
(26)
Поскольку 0
1
0
=
lr
y и если l четное, то переменная
)(l
k
μ чет-
ная, а переменная
lr
k
y
1
нечетная.
Этим доказано, что квадратурная формула вида (20) точна для
многочленов
1r
P и наилучшая для класса )1,1;(
)(
MW
r
, существует
и единственная.
15. Многочлен Чебышева,
наименее уклоняющийся от нуля
Рассмотрим функции
),arccoscos(
2
1
)(
1
xnxT
n
n
= (1)
[
]
2
12
arccos)1(sin
)(
x
xn
xQ
n
n
+
= , (2)
заданные на отрезке ]1,1[ . Первая из них называется многочленом
Чебышева степени n , наименее уклоняющимся от нуля в метрике
непрерывных функций. Вторую формулу называют многочленом
Чебышева второго рода. Это многочлен степени n, наименее укло-
няющийся от нуля в среднем. С точностью до постоянного множите-
ля функция Q
n
(x) есть производная от многочлена Чебышева T
n+1
(x).
функция x r −1 автоматически обращает в равенство полученную та-
ким образом квадратурную формулу.
  Но в силу нечетности r − 1
                                    1

                                    ∫x
                                         r −1
                                                dx = 0 .
                                    −
   Кроме того,
                      m
                     ∑ μ (kl ) ykr −1−l = 0,       l = 0, 1, ..., r − 2.   (26)
                    k =− m

   Поскольку y0r −1−l = 0 и если l – четное, то переменная μ (lk ) – чет-
ная, а переменная y kr −1−l – нечетная.
   Этим доказано, что квадратурная формула вида (20) точна для
многочленов Pr −1 и наилучшая для класса W ( r ) ( M ;−1,1) , существует
и единственная.

              15. Многочлен Чебышева,
           наименее уклоняющийся от нуля
   Рассмотрим функции
                                   1
                      Tn ( x) =      cos(n arccos x),                       (1)
                               2 n−1
                               sin[(n + 1) arccos x ]
                     Qn ( x) =                        ,                     (2)
                                     2n 1 − x 2
заданные на отрезке [−1,1] . Первая из них называется многочленом
Чебышева степени n , наименее уклоняющимся от нуля в метрике
непрерывных функций. Вторую формулу называют многочленом
Чебышева второго рода. Это многочлен степени n, наименее укло-
няющийся от нуля в среднем. С точностью до постоянного множите-
ля функция Qn(x) есть производная от многочлена Чебышева Tn+1(x).




                                            62