Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

64
и значения T
n
(x
k
) многочлена в этих точках равны для k = 0, 1, …, n;
при этом переменные меняют знак:
1
2
1
−n
или
1
2
1
−
−
n
.
Из этого следует важнейшее свойство многочлена Чебышева.
Среди многочленов Р
n
(x) = x
n
+ a
n–1
x
n–1
+ … +a
0
, степени n с коэффи-
циентами при x
n
,
равными 1, многочлен Чебышева – единственный,
для которого максимум модуля Р
n
(x) на отрезке [–1,1] достигает сво-
его минимума, т. е.
1
1111
2
1
|)(|max|)(|max
−
≤≤−≤≤−
=≥
n
x
n
x
n
xTxP .
Действительно, если алгебраический многочлен P
n
(x) степени n с
коэффициентами при x
n
, равными 1, отличен от T
n
(x), то
1111
|)(|max|)(|max
≤≤−≤≤−
>
x
n
x
n
xTxP
.
Если бы это было не так, то представляя P
n
(x) в виде суммы
P
n
(x) = Т
n
(x) + P
n–1
(x),
мы бы получили, что P
n–1
(x) есть многочлен степени 1
−
n , для кото-
рого в определенных 1+n точках
k
x выполняются неравенства
nkxP
kn
k
...,,1,0,0)()1(
1
1
=≥−
−
+
.
Применяя теорему Ролля, приходим к тому, что многочлен
)(
1
xP
n−
степени 1−n обращается в нуль в n точках и, следовательно,
тождественно равен нулю, т. е. )()( xTxP
nn
≡
, а это противоречит то-
му, что
n
P и
n
T отличны друг от друга.
Докажем аналогичное свойство многочлена
)(xQ
n
.
Среди многочленов )(xP
n
степени n с коэффициентом при
n
x ,
равным 1, многочлен
)(xQ
n
– единственный, для которого интеграл
dxxP
n
∫
−
1
1
)(
достигает своего минимума, т. е. 
и значения Tn(xk) многочлена в этих точках равны для k = 0, 1, …, n;
                                      1           1
при этом переменные меняют знак: n−1 или − n−1 .
                                    2           2
   Из этого следует важнейшее свойство многочлена Чебышева.
Среди многочленов Рn(x) = xn + an–1 xn–1 + … +a0, степени n с коэффи-
циентами при xn, равными 1, многочлен Чебышева – единственный,
для которого максимум модуля Рn(x) на отрезке [–1,1] достигает сво-
его минимума, т. е.
                                                            1
                    max | Pn ( x) | ≥ max | Tn ( x) | =   .
                        −1≤ x≤1              −1≤ x≤12 n−1
   Действительно, если алгебраический многочлен Pn(x) степени n с
коэффициентами при xn, равными 1, отличен от Tn(x), то
                     max | Pn ( x) | > max | Tn ( x) | .
                            −1≤ x≤1               −1≤ x≤1

   Если бы это было не так, то представляя Pn(x) в виде суммы
                       Pn(x) = Тn(x) + Pn–1(x),
мы бы получили, что Pn–1(x) есть многочлен степени n − 1 , для кото-
рого в определенных n + 1 точках xk выполняются неравенства
                   (−1) k +1 Pn−1 ( xk ) ≥ 0, k = 0, 1, ..., n .
   Применяя теорему Ролля, приходим к тому, что многочлен
Pn−1 ( x) степени n − 1 обращается в нуль в n точках и, следовательно,
тождественно равен нулю, т. е. Pn ( x) ≡ Tn ( x) , а это противоречит то-
му, что Pn и Tn отличны друг от друга.
   Докажем аналогичное свойство многочлена Qn (x) .
   Среди многочленов Pn (x) степени n с коэффициентом при x n ,
равным 1, многочлен Qn (x) – единственный, для которого интеграл
                                      1

                                      ∫ Pn ( x) dx
                                      −1

достигает своего минимума, т. е.



                                           64

Страницы