ВУЗ:
Составители:
65
1
0
1
1
1
1
2
1
)1sin(
2
1
)()(
−
π
−−
=θθ+=≥
∫∫∫
nn
nn
dndxxQdxxP . (4)
Это свойство многочлена )(xQ
n
устанавливает, что функция
[
]
xnxQxq
n
arccos)1(sinsign)(sign)(
+
=
=
ортогональна на отрезке ]1,1[
−
ко всем многочленам степени 1−n ,
т. е. для всех многочленов
)(
1
xP
n−
степени 1
−
n имеет место равен-
ство
∫
−
=−
1
1
0)1()( dxxPxq
n
. (5)
Действительно, пусть )(xP
n
– отличный от )(xQ
n
многочлен сте-
пени n с коэффициентом при
n
x , равным 1. Тогда, если считать
)()(),()(
11
xpxxPxqxxQ
n
n
nn
n
n −−
+=+= ,
где
11
,
−− nn
pq – некоторые многочлены степени 1
−
n , в силу (5) имеем
dxxPdxxqxPdxxqxdxxqxQdxxQ
nn
n
nn
∫∫∫∫∫
−−−−−
<===
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)()()()()()()( .
Осталось доказать равенство (5). Ряд Фурье функции )(cosθq
имеет вид
[]
∑
∞
=
+
θ++
π
=θ+=θ
0
12
)1)(12sin(4
)1sin(sign)(cos
k
k
nk
nq
.
Отсюда для 1...,,1,0
−
= nk
[]
∫∫
−
π
=θθθ+θ−=
1
10
0sin)1sin(signcos)( dndxxqx
kk
, (6)
так как функция
θθsincos
k
есть нечетный тригонометрический по-
лином порядка nk ≤+1, т. е. она может быть представлена в сле-
дующем виде:
∑
+
=
θα=θθ
1
1
sinsincos
k
l
l
k
l
, nk ≥
+
1,
1 1 π
1 1
∫ Pn ( x) dx ≥ ∫ Qn ( x) dx = n ∫
2 0
sin( n + 1)θ dθ = n−1 .
2
(4)
−1 −1
Это свойство многочлена Qn (x) устанавливает, что функция
q( x) = signQn ( x) = sign sin[(n + 1) arccos x ]
ортогональна на отрезке [−1,1] ко всем многочленам степени n − 1 ,
т. е. для всех многочленов Pn−1 ( x) степени n − 1 имеет место равен-
ство
1
∫ q( x) Pn ( x − 1)dx = 0 . (5)
−1
Действительно, пусть Pn (x ) – отличный от Qn (x) многочлен сте-
пени n с коэффициентом при x n , равным 1. Тогда, если считать
Qn ( x) = x n + qn−1 ( x), Pn ( x) = x n + pn−1 ( x) ,
где qn−1 , pn−1 – некоторые многочлены степени n − 1 , в силу (5) имеем
1 1 1 1 1
∫ Qn ( x) dx = ∫ Qn ( x)q( x)dx = ∫ x q( x)dx = ∫ Pn ( x)q( x)dx < ∫ Pn ( x) dx .
n
−1 −1 −1 −1 −1
Осталось доказать равенство (5). Ряд Фурье функции q(cos θ)
имеет вид
4 ∞ sin(2k + 1)(n + 1)θ
q(cos θ) = sign[sin( n + 1)θ] = ∑ .
π k =0 2k + 1
Отсюда для k = 0, 1, ..., n − 1
1 π
∫ x q( x)dx = − ∫ cos θ sign[sin(n + 1)θ]sin θ dθ = 0 ,
k k
(6)
−1 0
так как функция cos k θsin θ есть нечетный тригонометрический по-
лином порядка k +1 ≤ n , т. е. она может быть представлена в сле-
дующем виде:
k +1
cos k θ sin θ = ∑ α l sin lθ , k +1 ≥ n ,
l =1
65
