Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

63
Убедимся, что T
n
(x) и Q
n
(x) действительно являются алгебраиче-
скими многочленами степени n с коэффициентами при х
n
, равными 1,
т. е. обе эти функции можно представить в виде
T
n
(x) = x
n
+ a
n–1
x
n–1
+ … + a
0
,
Q
n
(x) = x
n
+ b
n–1
x
n–1
+ … + b
0
,
где a
n
, b
n
– некоторые числа. Это доказывается индукцией по n. Ут-
верждение верно при n = 1, так как Q
1
(x) = T
1
(x) = x.
Допустим, что утверждение верно для n–1, тогда
...,...)
2
(...)
2
(
12
]arccos)1sin[()1(
...)
2
(
2
]arccos)1sin[(1
2
]arccos)1cos[(
)(
1
1
21
2
1
2
1
++=+++=
=
−
−−
−+=
=
−−
−
−
=
−
−
−
−−
n
n
n
nn
n
n
nn
n
xax
xx
x
xnxx
xnxxnx
xT
...,...)
2
(...)
2
(
12
]arccos)1sin[()1(
...)
2
(
2
)arccoscos(
12
)arccossin(
)(
1
1
21
2
21
++=+++=
=
−
−−
−+=
=+
−
=
−
−
−
−
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
xbx
xx
x
xnxx
xn
x
xnx
xQ
т. е. утверждение верно для n.
Многочлен Чебышева T
n
(x) обладает следующим свойством:
.
2
1
|)(|max
1
11
−
≤≤−
=
n
x
n
xT
Максимум достигается в n+1 точках x
k
отрезка [–1,1], определяе-
мых равенством:
,...,,1,0,cos nk
n
k
x
k
=
π
= (3) 
    Убедимся, что Tn(x) и Qn(x) действительно являются алгебраиче-
скими многочленами степени n с коэффициентами при хn, равными 1,
т. е. обе эти функции можно представить в виде
                     Tn(x) = xn + an–1 xn–1 + … + a0,
                     Qn(x) = xn + bn–1 xn–1 + … + b0,
где an, bn – некоторые числа. Это доказывается индукцией по n. Ут-
верждение верно при n = 1, так как Q1(x) = T1(x) = x.
    Допустим, что утверждение верно для n–1, тогда
                  x cos[(n − 1) arccos x]       1 − x 2 sin[(n − 1) arccos x]
      Tn ( x) =                             −                                 =
                           2 n−1                            2 n−1
                     xn          (1 − x 2 ) sin[(n − 1) arccos x]
                  = ( + ...) −                                    =
                      2                    2 n−1 1 − x 2
                     xn             xn
                  =(     + ...) + ( + ...) = x n + an−1 x n−1 + ...,
                     2               2
                             x sin( n arccos x) cos(n arccos x)
                  Qn ( x) =                    +                     =
                               2 n−1 1 − x 2           2n
                        xn          (1 − x 2 ) sin[(n − 1) arccos x]
                   =(      + ...) −                                  =
                        2                     2 n−1 1 − x 2
                  xn           xn
                   =(+ ...) + ( + ...) = x n + bn−1 x n−1 + ...,
                   2           2
т. е. утверждение верно для n.
    Многочлен Чебышева Tn(x) обладает следующим свойством:
                                                     1
                                 max | Tn ( x) | =
                                        .
                                  2 n−1
                                     −1≤ x≤1

  Максимум достигается в n+1 точках xk отрезка [–1,1], определяе-
мых равенством:
                                         kπ
                              xk = cos      , k = 0, 1, ..., n,                   (3)
                                          n




                                               63

Страницы