Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 57 стр.

                            ⎧0                 0 ≤ u ≤ θ1
             σ (mr ) (u ) = ⎨                                                                   (12)
                            ⎩ Pr −1,k (u ), θ k ≤ u ≤ θ k +1 , k = 1, 2, ..., m,
где Pr −1,k (u ) – многочлены степени                              r − 1 . Поэтому, полагая
2θ′k = θ k + θ k +1 , получаем:

                                             1⎡1 r           m θk +1                       ⎤
                    1                             θ
                1
                r! ∫0
                      u r
                          − σ (r )
                              m    (u ) du =
                                             r! ⎢ ∫0
                                                ⎢    u du + ∑∫       u r
                                                                         − Pr −1,k (u ) du ⎥≥
                                                ⎣           k =1 θ k
                                                                                           ⎥⎦

                           1 ⎡ θ1r +1                 ⎛ θ k +1 − θ k ⎞ 2(u − θ′k ) ⎤
                                       m      θk +1                    r
                       ≥      ⎢       +∑        ∫     ⎜              ⎟              du ⎥ =
                           r! ⎢ r + 1 k =1            ⎝       2      ⎠ θ k +1 − θ k    ⎥⎦
                              ⎣                 θk

    1 ⎡ θ1r +1                ⎤ 1 ⎡ θ r +1
                   1                       r +1
                              ⎛ θ − θk ⎞                     r +1 ⎤
                          m
                                                   1 m
=       ⎢                     ⎥ = ⎢ 1 + 2 r ∑ (θ k +1 − θ k ) ⎥ . (13)
                + 2 r −1 ∑ ⎜ k +1      ⎟
    r! ⎢⎣ r + 1               ⎥⎦ r! ⎣ r + 1 2 k =1
                         k =1 ⎝   2    ⎠                          ⎦
  Чтобы оценить правую часть (13) снизу, мы должны найти ее ми-
нимум среди всевозможных θ1 , θ 2 − θ1 ,..., θ m−1 − θ m
                                          m
                                   θ1 + ∑ (θ k +1 − θ k ) = 1 .                                 (14)
                                         k =1

   Решение этой задачи на относительный минимум приводит к
тому, что правая часть (13) достигает минимума при условии (14) для
единственной системы значений θ k = θ*k , определенных равенства-
ми (10).
    Вычислим коэффициенты μ (kl*) , соответствующие минимуму инте-
грала (5). На отрезке [θ1* , θ*2 ] функция, стоящая под знаком абсолют-
ной величины в интеграле (5), равна:
                         r −1                             ⎛       u − θ1* ⎞
                   u r − ∑ μ1(*l1) (u − θ1* ) l = h r Qr ⎜⎜ − 1 +         ⎟=
                         l =1                             ⎝         h* ⎟⎠
                  ⎡          u − θ*                (u − θ1* ) r ( r )  ⎤
            = h*r ⎢Qr ( −1) + * 1 Qr′ (−1) + ... +     *
                                                               Qr ( −1)⎥ .
                  ⎣           h                       h r!             ⎦




                                                      57