Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

52
о которой известно, что она точна для всех многочленов степени
n
.
Определяющие ее коэффициенты
)(l
k
p
′
совпадают соответственно с
числами
)(l
k
p , полученными по формуле (8). Действительно, для лю-
бого многочлена )(xP степени не выше
n справедливо равенство
)()(
1
PLpL = .
В частности, если в качестве )(xP взять многочлены )(xP
kl
вида
(2), то, используя свойства (3), получаем
)()(
)()(
l
kklkl
l
k
pPLPLp
′
===
,
k
lmk
ρ
=
−
= ...,,1,0,1...,,1,0,
что и требовалось доказать.
14. Общая экстремальная задача
Решим обобщенную экстремальную задачу для квадратурных
формул вида
)()()!1(
!
1
1
1
0
)()(
1
0
fLxflr
r
fdx
m
k
r
l
k
ll
k
=−−λ≈
∑∑
∫
=
−
=
, (1)
найдем среди квадратурных формул (1) со всевозможными узлами
k
x и весами
)(l
k
λ , где 1...,0
21
≤
<
<
≤
m
xxx , такую, которая дает наи-
лучшее приближение для класса функций )1,0;(
)(
0
MW
r
. Здесь пред-
полагается, что m
r
, – заданные натуральные числа. При этом
r
–
четное число.
Рассмотрим произвольную функцию )(xf класса )1,0;(
)(
0
MW
r
.
Она таким образом удовлетворяет условиям
)0(...)0()0(
)1( −
==
′
=
r
fff ,
и имеет вид независимо от того, точна или нет формула (1) для мно-
гочленов степени 1
−
r
,
.)()()1(
!
1
)(
)(
1
0
1
0
1
2
0
1
)(
dttftxKt
r
fLfdx
r
m
k
r
l
kr
i
k
r
∫∫
∑∑
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−λ−−=−
=
−
=
−
(2) 
о которой известно, что она точна для всех многочленов степени n .
Определяющие ее коэффициенты pk′(l ) совпадают соответственно с
числами pk(l ) , полученными по формуле (8). Действительно, для лю-
бого многочлена P(x) степени не выше n справедливо равенство
L( p) = L1 ( P) .
    В частности, если в качестве P(x) взять многочлены Pkl (x) вида
(2), то, используя свойства (3), получаем
                              pk(l ) = L( Pkl ) = L( Pkl ) = pk′(l ) ,
                           k = 0, 1, ..., m − 1, l = 0, 1, ..., ρ k ,
что и требовалось доказать.

              14. Общая экстремальная задача
  Решим обобщенную экстремальную задачу для квадратурных
формул вида
               1
                           1 m r −1 (l )
               ∫   fdx ≈      ∑∑ λ k (r − l − 1)! f (l ) ( xk ) = L( f ) ,
                           r! k =1 l =0
                                                                                                     (1)
               0

найдем среди квадратурных формул (1) со всевозможными узлами
xk и весами λ(lk ) , где 0 ≤ x1 < x2 < ..., xm ≤ 1 , такую, которая дает наи-
лучшее приближение для класса функций W0( r ) ( M ;0,1) . Здесь пред-
полагается, что r, m – заданные натуральные числа. При этом r –
четное число.
  Рассмотрим произвольную функцию f (x) класса W0( r ) ( M ;0,1) .
Она таким образом удовлетворяет условиям
                              f (0) = f ′(0) = ... = f ( r −1) (0) ,
и имеет вид независимо от того, точна или нет формула (1) для мно-
гочленов степени r − 1 ,
      1                       1
                           1 ⎡                  m r −2
                                                                                 ⎤
      ∫   fdx − L( f ) =      ∫ ⎢
                           r! 0 ⎣
                                  (1 − t ) r
                                             − ∑∑        λ(ki ) K r −1 ( xk − t )⎥ f ( r ) (t )dt.   (2)
      0                                        k =1 l =0                         ⎦


                                                  52

Страницы