Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

48
)()()!1(
!
1
)(
1
0
1
00
)(
fLxflr
r
fdx
k
l
m
kl
l
k
=−−λ≈
∫
∑∑
−
=
ρ
=
, (2)
полагая,
)(
!
)!1(
l
kkl
r
lr
p λ
−−
= .
Пусть задана функция )(xf , имеющая на отрезке ]1,0[ кусочно-
непрерывную производную )(
)(
xf
r
. Разложим ее по формуле Тейло-
ра:
∑
−
=
−
+=+=
1
0
1
)(
)()()()0(
!
)(
r
l
rrr
l
l
xRxPxRf
l
x
xf ,
где
dtftxK
r
xR
r
rr
)(
1
0
)(
)!1(
1
)( −
−
=
∫
.
Отметим, что производная порядка rl
<
от остаточного члена
может быть записана следующим образом:
∫
−
−−
=
−
1
0
)(
1
)(
)()(
)!1(
1
)( dttftxK
lr
xR
r
r
l
r
.
Поэтому в силу того, что формула (2) точна для
1−r
P (т. е. узлы
k
x
и веса
)(l
k
λ связаны условием точности),
∫∫
=−=−
1
0
1
0
)()(
rr
RLdxRfLfdx
∫∫
∑
∫
∑
−
=
−
ρ
=
=−λ−−
−
=
1
0
1
0
1
0
1
0
)(
1
0
)()(
)()(
!
1
)()(
)!1(
1
m
k
r
kr
l
l
k
r
r
dttftxK
r
dtdxtftxK
r
∫∫
∑∑
∫
−
=
ρ
=
−
−−
=−λ−−
−
=
1
0
1
0
1
00
)()(
1
0
)1(1
)()(
!
1
)()(
)!1(
1
m
kl
r
klr
l
k
rr
dttftxK
r
dttdxftx
r
                  1                     ρ
                              1 m−1
                  ∫ fdx ≈ r! ∑∑
                             k =0 l =0
                                       λ(kl ) (r − l − 1)! f (l ) ( xk ) = L( f ) ,                  (2)
                  0

полагая,
                             ( r − l − 1)! (l )
                                            pkl =
                                          λk .
                                  r!
   Пусть задана функция f (x) , имеющая на отрезке [0,1] кусочно-
непрерывную производную f ( r ) ( x) . Разложим ее по формуле Тейло-
ра:
                               r −1
                                      x l (l )
                      f ( x) = ∑          f (0) + Rr ( x) = Pr −1 ( x) + Rr ( x) ,
                               l =0   l!
где
                                                        1
                                                1
                                             (r − 1)! ∫0
                              Rr ( x) =                  K r ( x − t ) f ( r ) dt .

  Отметим, что производная порядка l < r от остаточного члена
может быть записана следующим образом:
                                                        1
                                             1
                        Rr(l ) ( x) =                ∫
                                        (r − l − 1)! 0
                                                       K r −1 ( x − t ) f ( r ) (t )dt .

   Поэтому в силу того, что формула (2) точна для Pr −1 (т. е. узлы xk
и веса λ(lk ) связаны условием точности),
                               1                        1

                               ∫   fdx − L( f ) = ∫ Rr dx − L( Rr ) =
                               0                        0
                1 1                                                       1
         1                                             1 m−1 ρ (l )
  =
      (r − 1)! ∫0 ∫0
                     K r ( x − t ) f (r )
                                          ( t ) dtdx −    ∑ ∑ λ k ∫ K r −1 ( xk − t ) f ( r ) (t )dt =
                                                       r! k =0 l =0 0
                11                                           1
          1                                            1 m−1 ρ
  =             ∫ ∫ ( x − t ) r −1 dxf ( r −1) (t )dt − ∫ ∑∑ λ(kl ) K r −l ( xk − t ) f ( r ) (t )dt =
      ( r − 1)! 0 0                                    r! 0 k =0 l =0




                                                       48

Страницы