Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

45
с
12 +m
узлами
1......1
0
≤
<
<
<
<
≤−
− mm
xxx
и весами
x
p , где фиксирована только
m
, формула (19) является
единственной наилучшей для класса )1,1;(
)2(
−MW . При этом
2
1
1
)1,1;(
)(
sup
)2(
m
m
mk
kk
MWf
Mffdx ω=ξμ−
∫
∑
−
−=
−∈
.
Доказательство. Если квадратурная формула не является точной
для всех
1
P , то для нее верхняя граница равна
∞
. Поэтому достаточ-
но рассмотреть всевозможные квадратурные формулы вида (20),
точные для
1
P . Имеем
[]
[]
=−=−=−
∑
∫
−=
−
−∈
m
mk
kk
MWf
x
xfpdxfMWEMWE
x
)()1,1;()1,1;(
1
1
1
)1,1;(
)2(2
sup
)2(
0
0
≥−+−=
∫
∑∑
∫
=
∈
−
−=
−
−∈
1
1
22
)1,;(
1
1
1
1
),1;(
0
0
)2(
0
0
0
)2(
0
)()(
supsup
x
m
k
kk
xMWf
mk
kk
x
xMWf
xfpdxfxfpdxf
xx
22
3
0
3
0
2
)1()1(
mm
MM
xx
ω≥ω
−++
≥ . (21)
Вес определяется из соотношения
∑
−=
=
m
mk
k
p 1
,
поскольку искомая квадратурная формула точна для )(
xf =1. Теоре-
ма доказана. Теорему 8 можно доказать для четного числа отрезков
разбиения. 
с 2m + 1 узлами
                                           − 1 ≤ x−m < ... < x0 < ... < xm ≤ 1
и весами p x , где фиксирована только m , формула (19) является
единственной наилучшей для класса W ( 2) ( M ;−1,1) . При этом
                                                         1                 m
                                          sup            ∫     fdx −      ∑ μ k f (ξ k ) = Mω2m .
                                   f ∈W ( 2 ) ( M ; −1,1) −1             k =− m

   Доказательство. Если квадратурная формула не является точной
для всех P1 , то для нее верхняя граница равна ∞ . Поэтому достаточ-
но рассмотреть всевозможные квадратурные формулы вида (20),
точные для P1 . Имеем
                                                                                                     1

      [                            ] [                               ]
                                                                                                                   m
    E W 2 ( M ;−1,1) = E Wx(02) ( M ;−1,1) =                                       sup
                                                                           f ∈Wx( 2 )      ( M ; −1,1)
                                                                                                       ∫ f1dx − k∑
                                                                                                                 =− m
                                                                                                                     pk f ( xk ) =
                                                                                   0                 −1

                              x0                −1                                                       1         m
=           sup                ∫   f1dx −      ∑ p k f1 ( x k ) +                      sup              ∫ f 2 dx − ∑    p k f 2 ( xk ) ≥
    f ∈Wx( 2 )   ( M ; −1, x )
                          0   −1              k =− m                          f ∈Wx( 2 )    ( M ; x ,1)
                                                                                                 0       x0        k =1
           0                                                                           0


                     ( x0 + 1) 3 + (1 − x0 )3
                                      ≥       Mω2m ≥ Mω2m .                                                                        (21)
                                 2
     Вес определяется из соотношения
                                                                 m
                                                                ∑ pk = 1,
                                                               k =− m

поскольку искомая квадратурная формула точна для f ( x) =1. Теоре-
ма доказана. Теорему 8 можно доказать для четного числа отрезков
разбиения.




                                                                         45

Страницы