Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

42
≥σ−+=σ−
∫
∑
∫∫
=
+
duu
u
du
u
duu
u
u
m
k
u
u
mm
k
k
01
0
1
)2(
22
1
0
)2(
2
)(
22
)(
2
=+−+≥
∑
∫
=
+
duBuA
u
u
m
k
u
u
kk
k
k
1
2
3
0
1
26
()
∑∑
=
+
=
+
−+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
m
k
kk
m
k
kk
uu
uuuu
1
3
1
3
0
3
1
1
3
0
32
1
624
1
6
. (13)
Чтобы оценить правую часть выражения (13) снизу, нужно найти
ее минимум среди всевозможных
mm
uuuuu
−
−
+1120
,...,,, удовлетво-
ряющих равенству
1)(
1
10
=−+
∑
=
+
m
k
kk
uuu
. (14)
Решая эту задачу как задачу на относительный экстремум, можно
показать, что правая часть выражения (13) достигает своего миниму-
ма при условии (14) для единственной степени
*
kk
uu = , определенной
равенством (12).
Итак, доказано, что
∑
=
−λ=σ
m
k
kk
m
uuKu
1
*
2
*)2(
)()(
*
есть единственная ломаная, которая обращает в минимум интег-
рал (5). При этом
mkkk
hAA ω==−=λ
−
42
**
1
**
, mk ...,,3,2
=
,
(
)
m
uA ω+=
+
==λ 32
3
23
*
11
*
1
.
Если учесть формулу (6), то приходим к теореме 7.
Теорема 7. Среди квадратурных формул вида (1), где m – задан-
ное натуральное число, формула
∑
∫
=
∗
=≈
m
k
kk
xfpfLfdx
1
**
1
0
)()( 
           1                          u                              uk +1
               u2                      0
                                         u2   m
                                                                             u2
           ∫      − σ (m2 ) (u ) du = ∫ du + ∑                        ∫         − σ (m2) (u ) du ≥
           0
               2                      0
                                         2   k =1                     uk
                                                                             2
                                     uk +1
                           u03 m               u2
                       ≥      +∑      ∫           − Ak u + Bk du =
                           6 k =1     uk
                                               2
                                                      3
                u3 1 m ⎛ u − u                   ⎞    3     m
                                                 ⎟ = u0 + 1 ∑ (u k +1 − u k )3 .
               = 0 + ∑ ⎜⎜ k +1 k                 ⎟                                                   (13)
                 6 4 k =1 ⎝   2                  ⎠   6 32 k =1
   Чтобы оценить правую часть выражения (13) снизу, нужно найти
ее минимум среди всевозможных u0 , u2 − u1 ,..., um+1 − u m , удовлетво-
ряющих равенству
                                           m
                                 u0 + ∑ (uk +1 − uk ) = 1 .                                          (14)
                                          k =1

   Решая эту задачу как задачу на относительный экстремум, можно
показать, что правая часть выражения (13) достигает своего миниму-
ма при условии (14) для единственной степени uk = uk* , определенной
равенством (12).
   Итак, доказано, что
                                               m
                            σ (m2*) (u ) = ∑ λ*k K 2 (u − u k* )
                                               k =1

есть единственная ломаная, которая обращает в минимум интег-
рал (5). При этом
                 λ*k = Ak* − Ak*−1 = 2h* = 4ωm , k = 2, 3, ..., m ,

                      λ*1 = A1 =
                                          3+2 *
                                           3
                                             u1 = 2 + 3 ωm .     (             )
   Если учесть формулу (6), то приходим к теореме 7.
   Теорема 7. Среди квадратурных формул вида (1), где m – задан-
ное натуральное число, формула
                           1                              m

                           ∫   fdx ≈ L∗ ( f ) = ∑ pk* f ( xk* )
                           0                              k =1




                                                   42

Страницы