Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

40
Рассмотрим два многочлена (7), наименее уклоняющиеся от нуля,
соответствующие интервалам ),(
haha
+
−
и
),(
11
hbhb
+
−
, где
1
hbha
−
=+ . При
1
hbhax
−
=
+
= оба они принимают значения
)1(
2
1
2
2
Qh и )1(
2
1
2
2
1
−Qh ; значения их совпадают тогда и только то-
гда, когда
1
hh = . В этом случае угловые коэффициенты линейных
частей обоих многочленов различаются на величину
hab 2
=
−
. (10)
Зададим некоторое положительное число
1
u
и пусть
1
uha =−
,
где
0>h
. Подберем
h
таким, чтобы линейная функция
11
BuA + ,
наилучшим образом приближающая в среднем параболу
2
2
u
y =
на
интервале ),(
haha +− , обращалась в нуль при
1
uu
=
. Поскольку эта
функция должна иметь вид (9), то искомое число
h должно удовле-
творять уравнению
()
0
8
3
22
)(
8
2
2
1
2
1
2
11
=−=
+
−++ h
uhuh
uhu .
Отсюда следует, что
1
3
2
uh = ,
11
3
23
uhua
+
=+=
и наилучшая линейная функция равна
)(
3
23
1111
uuuBuA −
+
=+ . (11)
Пусть
hkuu
k
)1(2
1
−
+
= ,
mk ,...,2,1
=
.
На каждом из интервалов
),(
1+kk
uu
определим линейную функ-
цию
kk
BuA
+
, приближающую наилучшим образом в среднем
2
2
u
.
При
1
uu = функция
11
BuA
+
обращается в нуль и графики функций 
    Рассмотрим два многочлена (7), наименее уклоняющиеся от нуля,
соответствующие интервалам (a − h, a + h) и (b − h1 , b + h1 ) , где
a + h = b − h1 . При x = a + h = b − h1 оба они принимают значения
 1 2            1 2
   h Q2 (1) и h1 Q2 (−1) ; значения их совпадают тогда и только то-
 2              2
гда, когда h = h1 . В этом случае угловые коэффициенты линейных
частей обоих многочленов различаются на величину
                                b − a = 2h .                     (10)
   Зададим некоторое положительное число u1 и пусть a − h = u1 ,
где h > 0 . Подберем h таким, чтобы линейная функция A1u + B1 ,
                                                                 u2
наилучшим образом приближающая в среднем параболу y =                на
                                                                 2
интервале (a − h, a + h) , обращалась в нуль при u = u1 . Поскольку эта
функция должна иметь вид (9), то искомое число h должно удовле-
творять уравнению
                                 2                     2
                                         (u1 + h) 2 u1
               (u1 + h )u1 + h       −             =
                                                        3
                                                       − h2 = 0 .
                             8               2       2 8
   Отсюда следует, что
                          2                    3+2
                    h=       u1 , a = u1 + h =     u1
                           3                    3
и наилучшая линейная функция равна
                                           3+2
                       A1u + B1 =              u1 (u − u1 ) .         (11)
                                            3
   Пусть
                  uk = u1 + 2( k − 1)h ,           k = 1,2,..., m .
   На каждом из интервалов (uk , u k +1 ) определим линейную функ-
                                                            u2
цию Ak u + Bk , приближающую наилучшим образом в среднем       .
                                                             2
При u = u1 функция A1u + B1 обращается в нуль и графики функций



                                           40

Страницы