Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 27 стр.

дать полный эффект в смысле порядка приближения квадратурной
формулы, необходимо взять квадратурную формулу, точную для
всех многочленов четвертой степени, например, усложненную фор-
мулу Котеса с пятью узлами.

                     8. Постоянная χ.
             Уточнение квадратурной формулы
   Постоянные χ могут играть существенную роль при построении
квадратурных формул
                                             1
                                        χ = ∫ Fr (t )dt .
                                             0

   Пусть для вычисления определенного интеграла на отрезке [a, b]
от некоторой функции f ( x) мы воспользовались определенной ус-
ложненной формулой
                              b                  n −1

                              ∫   f ( x)dx ≈ ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ),                  (1)
                              a                  k =0

точной для всех многочленов степени r − 1 . Если эта функция имеет
определенную производную порядка r , то порядок приближения
формулы (1) равен O(n − r ) . Если функция имеет производную по-
рядка r + 1 и формула не точна для многочленов степени r , то
улучшения порядка приближения не будет. Однако можно добавить
к правой части приближенного равенства (1) несложное выражение
такое, что оно приведет к новой квадратурной формуле, дающей
приближение порядка O( n −r −1 ) для функций непрерывной производ-
ной f ( r+1) ( x) .
   Будем считать, что функция f ( x) задана и имеет непрерывную
производную порядка r + 1 на отрезке [a, c ] , где b > c .
    Положим,
                                    2                             3
 Δ k f = f (ξ k +1 ) − f (ξ k ) , Δ k f = Δ k +1 f − Δ k f , Δ k f = Δ2k +1 f − Δ2k f , …



                                                 27