Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

25
После подстановки равенства (10) в формулу (3) получим
[]
{}
=ω++Φχ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=ξξ−
∫
∑
ξ
−
=
+
)()()(
)(
);,(
0
1
0
1
hOhOx
n
ab
fLfdx
r
a
l
k
kk
l
{}
,)(
)(
0 h
r
x
n
ab
ε+Φχ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= (11)
0→ε
n
при 0→h .
Первое слагаемое суммы, стоящей в фигурных скобках, заведомо
не равно нулю, а второе
h
ε
стремится к нулю при 0→n . Отсюда
следует, что левая часть (11) имеет порядок, строго равный )(
r
nO
−
.
Полученный результат приводит к теореме.
Теорема 5. Если функция f имеет непрерывную, не равную то-
ждественно нулю производную )(
)(
xf
r
порядка
r
и квадратурная
формула (1) точна для многочленов степени 1
−
r
, но не точна для
многочленов степени
r
, то существуют положительная постоян-
ная
c и точка
0
x на отрезке
[
]
ba, такие, что имеет место неравенство
2
1
0
1
);,(
n
c
fLfdx
i
a
l
k
kk
>ξξ−
∫
∑
ξ
−
=
−
(12)
для всех
...,,2,1=n где l – наибольшее натуральное число, при ко-
тором
0
x
l
≤
ξ .
В частности, если
∫
≠
b
a
r
dxxf ,0)(
)(
то можно считать
nl =
и, таким образом, b
n
=
ξ
. Если же
0)(
)(
=
∫
b
a
r
dxxf ,
то
bx <
0
.
Теорема 5 является дополнением к теореме 1.
Теорема 1 может быть усилена в виде теоремы 6. 
   После подстановки равенства (10) в формулу (3) получим
     ξl                                                 r
                l −1
                                         ⎛ (b − a) ⎞
     ∫    fdx − ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ) = ⎜         ⎟ {χΦ ( x0 ) + O(h) + O[ω(h)]} =
     a          k =0                     ⎝ n ⎠
                                                  r
                               ⎛ (b − a ) ⎞
                              =⎜          ⎟ {χΦ ( x0 ) + ε h },                       (11)
                               ⎝ n ⎠
   ε n → 0 при h → 0 .
   Первое слагаемое суммы, стоящей в фигурных скобках, заведомо
не равно нулю, а второе ε h стремится к нулю при n → 0 . Отсюда
следует, что левая часть (11) имеет порядок, строго равный O(n − r ) .
Полученный результат приводит к теореме.
   Теорема 5. Если функция f имеет непрерывную, не равную то-
ждественно нулю производную f ( r ) ( x) порядка r и квадратурная
формула (1) точна для многочленов степени r − 1 , но не точна для
многочленов степени r , то существуют положительная постоян-
ная c и точка x0 на отрезке [a, b] такие, что имеет место неравенство
                             ξi          l −1
                                                                 c
                              ∫ fdx − ∑
                                      k =0
                                           L(ξ k −1 , ξ k ; f ) > 2
                                                                 n
                                                                                      (12)
                              a

для всех n = 1, 2, ..., где l – наибольшее натуральное число, при ко-
тором ξ l ≤ x0 .
   В частности, если
                                     b

                                     ∫f
                                           (r )
                                                  ( x)dx ≠ 0,
                                     a
то можно считать l = n и, таким образом, ξ n = b . Если же
                                     b

                                     ∫f
                                           (r )
                                                  ( x)dx = 0 ,
                                     a
то x0 < b .
   Теорема 5 является дополнением к теореме 1.
   Теорема 1 может быть усилена в виде теоремы 6.


                                                   25

Страницы