Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

21
Если функция f принадлежит классу
),( baH
ω
, то, учитывая
формулу (13) и
),())(()()( huuhuhfuhf
kk
ω≤
′′
+
′
ω≤
′
+ξ−
′′
+ξ 10 ≤
′
≤
′
≤
uu ,
получаем:
[]
≤+ξ−+ξ≤ξξ−
∑
∫∫
∑
−
=
−
=
+
1
0
1
0
1
0
1
)()();,(
n
k
kk
b
a
n
k
kk
hufLduhufhfLfdx
)())(1()1()(
1
0
1
0
1
0
n
ab
abpphh
m
k
k
m
k
k
n
k
−
ω−+=+ω≤
∑∑∑
−
=
−
=
−
=
, .
n
ab
h
−
=
Теорема 3. Если квадратурная формула (4) точна для многочле-
нов степени
r
, то для всех функций f, принадлежащих классу
),(
)(
baHW
r
ω
, при 1≥
r
имеет место неравенство
r
r
r
b
a
n
k
kk
n
n
ab
cabfLfdx
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
ω
−≤ξξ−
+
−
=
+
∫
∑
1
1
0
1
)();,(
, (17)
где
r
c определяется формулой (11).
Доказательство.
Если в равенство
∫∫
=−
1
0
)(
1
0
,)()()( dttftFfLfdx
r
r
которое было введено при условии, что квадратурная формула (4)
точна для многочленов степени (r–1), подставить в качестве функции
f(x) функцию x
r
, то выполняется равенство
0)(
1
0
=
∫
dttF
r
. (18)
Пусть функция f принадлежит классу ),(
)(
baHW
r
ω
. Применим к
ней преобразование (13). Учитывая формулу (18), получаем:
|
∫
−
b
a
fdx
∑
−
=
1
0
n
K
L
(ξ
k
, ξ
k+1
; f)| = h
r+1
|
∑
∫
−
=
1
0
1
0
n
K
F
r
(n) f
(r)
(ξ
k
+ hn) dn | = 
  Если функция f                       принадлежит классу H ω (a, b) , то, учитывая
формулу (13) и
     f (ξ k + hu ′′) − f (ξ k + hu ′) ≤ ω(h(u ′ + u ′′)) ≤ ω(h), 0 ≤ u ′ ≤ u ′ ≤ 1 ,
получаем:
     b              n −1                           n −1 1

     ∫   fdx − ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ) ≤ h∑ ∫ f (ξ k + hu )du − L[ f (ξ k + hu )] ≤
     a              k =0                          k =0 0

             n −1              m −1                m −1
                                                                           b−a        b−a
    ≤ h ∑ ω(h)(1 + ∑ pk ) = (1 + ∑ pk )(b − a)ω(                               ), h =     .
             k =0              k =0                k =0                     n          n
   Теорема 3. Если квадратурная формула (4) точна для многочле-
нов степени r , то для всех функций f , принадлежащих классу
W ( r ) H ω (a, b) , при r ≥ 1 имеет место неравенство
                                                                    ⎛b−a⎞
                    b          n −1
                                                                   ω⎜    ⎟
                                                                    ⎝  n ⎠
                    ∫   fdx − ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ) ≤ (b − a) cr
                                                              r +1
                                                                           ,                  (17)
                    a         k =0                                    nr
где cr определяется формулой (11).
   Доказательство. Если в равенство
                                  1                       1

                                  ∫   fdx − L( f ) = ∫ Fr (t ) f ( r ) (t )dt ,
                                  0                       0

которое было введено при условии, что квадратурная формула (4)
точна для многочленов степени (r–1), подставить в качестве функции
f(x) функцию xr, то выполняется равенство
                                                  1

                                                  ∫ Fr (t )dt = 0 .                           (18)
                                                  0

   Пусть функция f принадлежит классу W ( r ) H ω (a, b) . Применим к
ней преобразование (13). Учитывая формулу (18), получаем:
         b              n −1                                  n −1 1
      | ∫ fdx −         ∑ L (ξk, ξ k+1; f)| = hr+1 | ∑ ∫ Fr(n) f (r)(ξk + hn) dn | =
         a              K =0                                  K =0 0




                                                       21

Страницы