Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

18
где
,
2n
ab
iax
i
−
+= .2...,,1,0 ni =
Если квадратурная формула (4) точна для всех многочленов )(xP
ρ
степени ρ, т. е. если для всех )(xP
ρ
выполняется равенство
∫
ρρ
=
1
0
),()( PLdxxP (8)
то это же имеет место для соответствующей усложненной формулы
(7).
По формуле (4) из разд. 4 имеем
∫∫
=−
1
0
)(
1
0
)()()( dttftFfLfdx
r
r
, (9)
где
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
∫
∑
=
1
0
0
)(
)1(
)!1(
1
)(
m
k
krk
r
r
txKp
r
t
r
tF . (10)
Положим,
∫∫
=−=
∈
1
0
1
0
)1,0;1(
)()(max dttFfLfdxc
r
Wf
r
r
. (11)
Теорема 1. Если квадратурная формула (4) точна для всех много-
членов степени r–1, то для любой функции f, принадлежащей классу
),;(
)(
baMW
r
, имеет место неравенство:
r
r
r
b
a
n
k
kk
n
Mcab
fLdxxf
1
1
0
1,
)(
);()(
+
−
=
+
−
≤ξξ−
∫
∑
. (12)
Существует функция f
*
, зависящая от n, принадлежащая классу
),;(
)(
baMW
r
, для которой неравенство (12) превращается в равенст-
во.
Доказательство.
На основании свойств подобия функционала
);(
1,
fL
kk +
ξξ функционалу )( fL и равенства (9) имеем 
            b−a
где xi = a + i   , i = 0, 1, ..., 2n.
             2n
   Если квадратурная формула (4) точна для всех многочленов Pρ (x)
степени ρ , т. е. если для всех Pρ (x) выполняется равенство
                                      1

                                      ∫ Pρ ( x)dx = L( Pρ ),                              (8)
                                      0

то это же имеет место для соответствующей усложненной формулы
(7).
    По формуле (4) из разд. 4 имеем
                              1                         1

                              ∫   fdx − L( f ) = ∫ Fr (t ) f ( r ) (t )dt ,               (9)
                              0                         0

где
                                1 ⎡ (1 − t ) r                        ⎤
                                         1        m
                 Fr (t ) =             ⎢∫      − ∑ p k K r ( xk − t ) ⎥ .                (10)
                             (r − 1)! ⎣⎢ 0 r     k =0                 ⎦⎥
   Положим,
                                              1                   1
                   cr =           max
                                   r
                             f ∈W (1; 0 ,1)
                                              ∫   fdx − L( f ) = ∫ Fr (t ) dt .          (11)
                                              0                   0

   Теорема 1. Если квадратурная формула (4) точна для всех много-
членов степени r–1, то для любой функции f, принадлежащей классу
W ( r ) ( M ; a, b) , имеет место неравенство:
                                                                  (b − a ) r +1 cr M
                   b                  n −1

                   ∫   f ( x)dx − ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ) ≤                           .   (12)
                   a                  k =0                              nr
    Существует функция f *, зависящая от n, принадлежащая классу
W ( r ) ( M ; a, b) , для которой неравенство (12) превращается в равенст-
во.
    Доказательство. На основании свойств подобия функционала
L(ξ k , ξ k +1 ; f ) функционалу L( f ) и равенства (9) имеем



                                                     18

Страницы