Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

14
Формула (7) дает точное выражение приближения квадратурной
формулы (1) через производную порядка r от функции f(x). Эта фор-
мула будет служить исходной для получения различных оценок, свя-
занных с приближениями квадратурных формул.
Поскольку функция f принадлежит классу ),;(
)(
baMW
r
, должно
выполняться неравенство (3) и
∫∫
=≤−
b
a
rr
b
a
McdttFMfLdxxf )()()( . (8)
При этом в неравенстве (8) правую часть нельзя уменьшить, по-
скольку
)(sign)(
)(
xFMxf
r
r
= . (9)
Постоянную c
r
можно вычислить точно или с любой степенью
точности приближенно, поскольку она задается с помощью извест-
ных для каждой квадратурной формулы весов p
k
и x
k
.
5. Численные постоянные
для частных квадратурных формул
Пусть a = 0, b = 1. Тогда имеем
∫∫
=−
1
0
)(
1
0
,)()()( dttftFfLfdx
r
r
(1)
где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
∑
−
=
1
0
)(
)1(
)!1(
1
)(
m
k
krk
r
r
txKp
r
t
r
tF . (2)
Положим,
.)(max)(
1
0
1
0
)1,0;1(W f
(r)
∫∫
−==
∈
fLfdxdttFc
rr
(3)
Надо иметь в виду, что
.)(max
1
0
)1,0;(
)(
r
MWf
McfLfdx
e
=−
∫
∈
   Формула (7) дает точное выражение приближения квадратурной
формулы (1) через производную порядка r от функции f(x). Эта фор-
мула будет служить исходной для получения различных оценок, свя-
занных с приближениями квадратурных формул.
  Поскольку функция f принадлежит классу W ( r ) ( M ; a, b) , должно
выполняться неравенство (3) и
                   b                                             b

                   ∫     f ( x)dx − L( f ) ≤ M ∫ Fr (t ) dt = Mcr .                     (8)
                   a                                             a

   При этом в неравенстве (8) правую часть нельзя уменьшить, по-
скольку
                                f ( r ) ( x) = M sign Fr ( x) .                         (9)
   Постоянную cr можно вычислить точно или с любой степенью
точности приближенно, поскольку она задается с помощью извест-
ных для каждой квадратурной формулы весов pk и xk .

              5. Численные постоянные
         для частных квадратурных формул
  Пусть a = 0, b = 1. Тогда имеем
                    1                                1

                    ∫      fdx − L( f ) = ∫ Fr (t ) f ( r ) (t )dt ,                    (1)
                    0                                0

                              1 ⎡ (1 − t ) r m−1                   ⎤
где          Fr (t ) =              ⎢       − ∑ p k K r ( xk − t ) ⎥ .                  (2)
                           (r − 1)! ⎣ r       k =0                 ⎦
  Положим,
                       1                                             1
               cr = ∫ Fr (t ) dt =                  max              ∫ fdx − L( f ) .   (3)
                                                f ∈W (r) (1; 0 ,1)
                       0                                             0

  Надо иметь в виду, что
                                                1

                         f ∈W
                              max
                              (e)
                                  ( M ; 0 ,1)
                                                ∫ fdx − L( f ) = Mcr .
                                                0



                                                      14

Страницы