Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 18 стр.

                        2! ϕ( p −1) (t k ) 1 ⎡ ϕ( p −1) (t k′ )   ϕ( p −1) (t k′ ) ⎤
     r1′(−1) =                            − ⎢                   +                  ⎥ = O ( h) ;
                     ( p − 1)! − 1 − t k   2 ⎣ − 1 − t k − ih − 1 − t k + ih ⎦

                  3! ϕ( p−1) (t k ) 1 ⎡ ϕ( p −1) (t k′ )           ϕ( p−1) (t k′ ) ⎤
  r1′′(−1) =                          −   ⎢                   +                     ⎥ = O ( h) ;
              ( p − 1)! (−1 − t k ) 2 2 ⎣ (−1 − t k − ih) 2 (−1 − t k + ih) 2 ⎦
 KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
                   1        ϕ(tk )       1⎡       ϕ(tk′ )               ϕ(tk′ )        ⎤
r1( p−1) (−1) =                     p−1
                                        − ⎢                 p−1
                                                                +                  p−1 ⎥
                                                                                         = O(h) .
                ( p − 1) (−1 − tk )      2 ⎣ (−1 − tk − ih)       (−1 − tk + ih) ⎦

   Легко показать, что
                         ϕ ( p −1) (τ)dτ 1 ⎡ ϕ ( p −1) (τ) ϕ ( p −1) ( τ) ⎤
                       1                     1
           r10 =       ∫             p
                                        −
                                          2 −∫1⎣ τ − t − ih τ − t + ih ⎦
                                               ⎢           +              ⎥ dτ = O ( h ) .
                       −1 ( τ − t )
   Следовательно, r1 = O(h) .
   Слагаемые r4 и r5 оцениваются по аналогии с соответствующими
выражениями из разд. 2.4 в [1]. Повторяя сделанные там выкладки,
имеем r5 ≤ Aε / h p −1 .
   Слагаемые r2 – r4 оцениваются одинаково. Поэтому ограничимся
рассмотрением суммы r2 при t ∈ [t j , t j +1 )

      1    N −1tk +1   ϕ( τ) − ϕ(t ′ )         1    j −2
                                                                    1                    1
 r2 ≤
      2
           ∑ ∫ [τ − t + ih]kp dτ ≤ 4 N 2 ∑ ((t − t ) 2 + h 2 ) p / 2 + 4 N 2 h p                  +
           k =0 t                        k =0 k +1 j
                 k
                                                                                   .
       1 N −1                      1                      ⎛ 1           1 ⎞
  +          ∑
     4 N 2 k = j +1 ((t k − t j +1 ) 2 + h 2 ) p / 2
                                                       ≤ A⎜ 2 p +
                                                          ⎝N h
                                                                              ⎟.
                                                                      Nh p −1 ⎠
    Оценка сумм, встречающихся в предыдущем выражении, прово-
дилась следующим образом:
 1 j−2                1                            j −2
                                                                    1
   2 ∑                  2
 N k =0 ((tk +1 − t j ) + h ) 2 p/ 2
                                       = N   p−2
                                                  ∑                2   2 2 p/ 2
                                                                                 =
                                                  k =0 ((k + 1 − j) + N h )
         j −2                                 j −2
                            1                                   1
= N p−2 ∑ '                2   2 2 p/2
                                       +N p−2
                                              ∑    ''
                                                               2   2 2 p/ 2
                                                                            = r21 + r22 ,
        k =0    ((k +1 − j) + N h )           k =0 ((k + 1 − j) + N h )




                                                   18