Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

16
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
ϕ
′
−
−−
−ϕ
′
−
−
++
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
ϕ
−
−−
−ϕ
−
+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
ϕ
−
−−
−ϕ
−
+
−τ
ττϕ
−
=
−τ
ττϕ
−−
−−
−−
−
−
−
∫∫
222
)2(
2
)2(
)1()1(
1
1
)1(
1
1
)1(
)1(
)1(
)1(
)!1(
)!3(
)1(
)1(
)1(
)1(
)!1(
!2
1
)1(
1
)1(
)!1(
!1
)(
)(
)!1(
1
)(
)(
pp
pp
ppp
p
tt
p
p
tt
p
ttpt
d
p
t
d
K
.
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
1
11
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
ϕ
−
−−
−ϕ
−
+
−− pp
tt
p
(15)
Аналогично,
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
ϕ
−
+−−
−ϕ
−
+
+−τ
ττϕ
−
=
+−τ
ττϕ
−−
−
−
−
∫∫
ihtihtpiht
d
p
iht
d
ppp
p
1
)1(
1
)1(
)!1(
!1
)(
)(
)!1(
1
)(
)(
)1()1(
1
1
)1(
1
1
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
ϕ
−
+−−
−ϕ
−
+
−−
2
)2(
2
)2(
)1(
)1(
)1(
)1(
)!1(
!2
ihtiht
p
pp
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
ϕ
′
−
+−−
−ϕ
′
−
−
++
−− 22
)1(
)1(
)1(
)1(
)!1(
)!3(
pp
ihtiht
p
p
K
.
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
1
11
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
ϕ
−
+−−
−ϕ
−
+
−− pp
ihtiht
p
(16)
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−
ϕ
−
−−−
−ϕ
−
+
−−τ
ττϕ
−
=
+−τ
ττϕ
−−
−
−
−
∫∫
ihtihtpiht
d
p
iht
d
ppp
p
1
)1(
1
)1(
)!1(
!1
)(
)(
)!1(
1
)(
)(
)1()1(
1
1
)1(
1
1
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−
ϕ
−
−−−
−ϕ
−
+
−−
2
)2(
2
)2(
)1(
)1(
)1(
)1(
)!1(
!2
ihtiht
p
pp
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−
ϕ
′
−
−−−
−ϕ
′
−
−
++
−− 22
)1(
)1(
)1(
)1(
)!1(
)!3(
pp
ihtiht
p
p
K
.
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
1
11
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−
ϕ
−
−−−
−ϕ
−
+
−− pp
ihtiht
p
(17)
Погрешность квадратурной формулы (13) оценивается неравенст-
вом 
                                                1! ⎧ ϕ( p−1) (−1) ϕ( p−1) (1) ⎫
1                          1 ( p −1)
   ϕ(τ)dτ           1        ϕ       (τ)dτ
∫           p
              =
                ( p − 1)! −∫1 (τ − t )
                                           +           ⎨
                                             ( p − 1)! ⎩ − 1 − t
                                                                 −
                                                                    1− t ⎭
                                                                              ⎬+
−1 (τ − t )

       2! ⎧ ϕ( p−2) (−1) ϕ( p−2) (1) ⎫        ( p − 3)! ⎧ ϕ′(−1)              ϕ′(1) ⎫
+             ⎨             −         2 ⎬
                                          +K+           ⎨           p −2
                                                                         −              ⎬+
    ( p − 1)! ⎩ (−1 − t ) 2
                              (1 − t ) ⎭      ( p − 1)! ⎩ (−1 − t )        (1 − t ) p−2 ⎭
                                1 ⎧ ϕ(−1)                   ϕ(1) ⎫
                         +            ⎨           p −1
                                                       −               ⎬.            (15)
                             ( p − 1) ⎩ (−1 − t )        (1 − t ) p −1 ⎭



    Аналогично,
                                                    1! ⎧ ϕ( p −1) (−1) ϕ ( p −1) (1) ⎫
1                               1 ( p −1)
       ϕ(τ)dτ            1        ϕ        (τ)dτ
∫                p
                   =
                     ( p − 1)! −∫1 ( τ − t + ih) ( p − 1)! ⎩ − 1 − t + ih 1 − t + ih ⎭
                                                 +         ⎨             −           ⎬+
−1 ( τ − t + ih)

                             2! ⎧ ϕ( p − 2 ) (−1)      ϕ( p − 2 ) (1) ⎫
                      +             ⎨                −                ⎬+
                          ( p − 1)! ⎩ (−1 − t + ih) 2 (1 − t + ih) 2 ⎭
                          ( p − 3)! ⎧     ϕ′( −1)               ϕ′(1)      ⎫
               +K +                 ⎨               p −2
                                                         −             p−2 ⎬
                                                                             +
                          ( p − 1)! ⎩ (−1 − t + ih)        (1 − t + ih) ⎭
                        1 ⎧          ϕ(−1)                 ϕ(1)       ⎫
                 +            ⎨               p −1
                                                   −             p −1 ⎬
                                                                       .             (16)
                     ( p − 1) ⎩ (−1 − t + ih)        (1 − t + ih) ⎭
                                                   1! ⎧ ϕ( p −1) (−1) ϕ( p −1) (1) ⎫
1                               1 ( p −1)
       ϕ(τ)dτ            1        ϕ       (τ)dτ
∫                p
                   =
                     ( p − 1)! −∫1 (τ − t − ih) ( p − 1)! ⎩ − 1 − t − ih 1 − t − ih ⎭
                                                +         ⎨             −           ⎬+
−1 ( τ − t + ih)

                             2! ⎧ ϕ ( p −2) (−1)       ϕ ( p −2) (1) ⎫
                     +             ⎨                −                ⎬+
                         ( p − 1)! ⎩ (−1 − t − ih) 2 (1 − t − ih) 2 ⎭
                          ( p − 3)! ⎧     ϕ′(−1)               ϕ′(1)       ⎫
               +K+                  ⎨               p−2
                                                        −             p −2 ⎬
                                                                             +
                          ( p − 1)! ⎩ (−1 − t − ih)       (1 − t − ih) ⎭
                1 ⎧         ϕ(−1)                  ϕ(1)       ⎫
                 +    ⎨               p −1
                                           −             p −1 ⎬
                                                               . (17)
             ( p − 1) ⎩ (−1 − t − ih)        (1 − t − ih) ⎭
   Погрешность квадратурной формулы (13) оценивается неравенст-
вом


                                                  16

Страницы