Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

14
α
−≤−
212
)(
1
)(
)()( tttftf
rr
.
Пусть
rr
p
Hzzf
,...,
11
),...,( ∈
(1) – функция l комплексных перемен-
ных, аналитических по каждой переменной
i
z внутри единичной ок-
ружности
i
γ с центром в начале координат комплексной плоскости
)...,,2,1( liz
i
= .
Обозначим через
+
i
D область, расположенную внутри единичной
окружности
)...,,2,1( li
i
=
γ
.
Будем говорить, что функция
rr
p
Hzzf
,...,
11
),...,( ∈
(1), если она по
каждой переменной
1
z имеет частные производные до r-го порядка
включительно и удовлетворяет условию
∫
γ
+
σ
−
−→
∈≤≤−
≤σ
+−
1
1
1
1),...,,,...,(limsupsup
1,1
01
),...,,,....,(
dzzpezzf
p
lli
i
li
r
i
p
Dzzzzlil
лllili
,
где
kkk
DD γ∪=
+
.
4. Эффективный метод вычисления
интеграла Адамара на конечном интервале
Рассмотрим функцию )(
τ
ϕ
, определенную на сегменте
[]
1,1− ,
имеющую производные до r-го порядка включительно. Предполо-
жим, что функция )(τϕ задана на
[
]
1,1
−
приближенными значениями
)(
~
τϕ , такими, что
ε≤τϕ−τϕ )(
~
)(.
Для интегралов Адамара
∫
−
−τ
ττϕ
=ϕ
1
1
)(
)(
p
t
d
A
(12)
построим квадратурную формулу следующего вида (2):
[][]
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
τ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−τ
+
−−τ
ϕ=ϕ
∫
∑
+
−
=
d
ihtiht
tA
k
k
t
t
pp
N
k
k
1
)(
1
)(
1
)(
~
2
1
1
0
                                                                                          α
                                            f ( r ) (t1 ) − f ( r ) (t 2 ) ≤ t1 − t 2 .

  Пусть f ( z1 ,..., z1 ) ∈ H pr ,...,r (1) – функция l комплексных перемен-
ных, аналитических по каждой переменной zi внутри единичной ок-
ружности γ i с центром в начале координат комплексной плоскости
zi (i = 1, 2, ..., l ) .
   Обозначим через Di+ область, расположенную внутри единичной
окружности γ i (i = 1, 2, ..., l ) .
  Будем говорить, что функция f ( z1 ,..., z1 ) ∈ H pr ,...,r (1), если она по
каждой переменной z1 имеет частные производные до r-го порядка
включительно и удовлетворяет условию
                                                                                                            p
    sup                  sup                     lim      ∫
   −l ≤i ≤l ( z1 ,...., zi −l , zi +l ,..., zl )∈Dл p →1−0 γ
                                                               f i r ( z1 ,..., zi −l , pe iσ1 , zi +l ,..., zl ) dσ1 ≤ 1 ,
                                                           1


где Dk =      Dk+     ∪ γk .

              4. Эффективный метод вычисления
           интеграла Адамара на конечном интервале
   Рассмотрим функцию ϕ(τ) , определенную на сегменте [− 1,1] ,
имеющую производные до r-го порядка включительно. Предполо-
жим, что функция ϕ(τ) задана на [− 1,1] приближенными значениями
~ (τ) , такими, что ϕ( τ) − ϕ
ϕ                           ~ ( τ) ≤ ε .

  Для интегралов Адамара
                                                               1
                                                                    ϕ( τ)dτ
                                                    Aϕ =       ∫ (τ − t ) p                                               (12)
                                                               −1

построим квадратурную формулу следующего вида (2):
                         1 N −1~      ⎡tk +1 ⎛ 1               1                                        ⎞ ⎤
             Aϕ =          ∑ k ⎢ ∫ ⎜⎜ [τ − (t − ih)]p + [τ − (t + ih)]p
                         2 k =0
                                ϕ(t )                                                                   ⎟dτ⎥ +
                                                                                                        ⎟ ⎥
                                      ⎢⎣ tk ⎝                                                           ⎠ ⎦



                                                                     14

Страницы