Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 13 стр.

                rr
   Через W p 1 2 (1) обозначен класс функций ϕ( x, y ) , имеющих част-
ные производные по переменным х и у до r1 , r2 -го порядка включи-
                         ( r ,r21 )
тельно, причем ϕ                                ≤ 1, D = [a, b; c, d ] .
                                      Lp ( D)

   Если ϕ ∈Wpr1r2 , ϕ(r1,0) ( x,0)                          ≤ 1, ϕ(0,r2 ) (0, y)                   ≤ 1, то ϕ∈Wp*(r1,r2 ) .
                                                Lp ( a,b)                           L p ( c ,d )
             ~
   Через ϕ ∈ W ( r1 ,r2 ) (1) обозначим класс функций ϕ( x, y ) , имеющих
непрерывные частные производные по переменным х и у до r1 и r2
порядка включительно, причем
           ϕ( r1 , 0) ( x, y )        ≤ 1, ϕ( 0,r2 ) ( x, y )           ≤ 1, ϕ( r1 ,r2 ) ( x, y )         ≤1.
                                 C                                 C                                  C

   Через WLrp ( D ) (1) обозначен класс функций, имеющих частные про-
изводные до r-го порядка включительно, ограниченные в метрике
пространства L p (D ) единицей, D = [a, b; c, d ] .
   Через H p (1) (1 ≤ p ≤ ∞) обозначается класс функций Харди, анали-
тических внутри единичной окружности γ с центром в начале коор-
динат с нормой
                                                       2π                          1
                                         1                                  p
                                                        ∫
                                                                       iσ          p
                            f = [ lim                        f ( pe ) dσ] ≤ 1 .
                                 p →1−0 2 π
                                                        0

   Обозначим через H pr (r = 0, 1, ...; 1 ≤ p ≤ ∞) класс функций, анали-
тических внутри γ , имеющих производные до r-го порядка включи-
тельно на контуре γ и удовлетворяющих условию:
                                 2π                                1
                        1                       p
                 lim       [ ∫ f ( r ) ( pe iσ ) dσ] p ≤ 1 при 1 ≤ p ≤ ∞ ,
                p →1−0 2 π
                             0

                          lim sup f ( r ) ( pe iσ ) ≤ 1 при p = ∞ .
                         p →1−0 0≤σ≤ 2 π


   Обозначим через H ∞r ,α (1) класс функций, входящих в класс H ∞r (1)
и удовлетворяющих на окружности γ дополнительному условию:


                                                            13