Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
[][]
N
t
t
pp
j
Rd
ihtiht
t
j
j
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
τ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−τ
+
−−τ
′
ϕ+
∫
+
−
2
1
)(
1
)(
1
)(
~
2
1
, (13)
где Nkt
k
/21+−= ,1,,1,0
−
= Nk K . Сумма
∑
−
=
1
0
N
k
означает, что сум-
мирование проводится при 1,,1
+
−
≠
jjjk ; 2/)(
1+
+
=
′
kkk
ttt ,
p
Nh
/1−
= . Особая точка t находится внутри интервала
[
]
δ−δ+
−
1,1,
где
h>>δ
.
Теорема. Пусть )1()(
r
W∈τϕ и ε≤τϕ−τϕ )(
~
)(. Для интеграла Ада-
мара (12) квадратурная формула (13) при )(0
/1 p
Nh
−
= имеет погреш-
ность
)(
/11/1 pp
N
NNAR
−−
ε+≤ .
Доказательство.
Представим интеграл Адамара (1) в виде суммы
интегралов
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−τ
ττϕ
+
−τ
ττϕ
+
−τ
ττϕ
=
−τ
ττϕ
∫∫∫∫
η+
η−η+
η−
−
→η
−
t
t
p
t
p
t
pp
t
d
t
d
t
d
t
d
)(
)(
)(
)(
)(
)(
lim
)(
)(
1
1
0
1
1
.
Из определения интеграла Адамара следует, что
{}
{}
−−ϕ−−+ϕ
η−
−
−−ϕ−−+ϕ
η−
−
−τ
ττϕ
−
=
−τ
ττϕ
−−
−−
η+
η−
−
η+
η−
∫∫
)()1()(
)!1(
!2
)()1()(
)!1(
1
)(
)(
)!1(
1
)(
)(
)2(2)2(
2
)1(1)1(
)1(
ntnt
p
ntnt
pt
d
p
t
d
pp
pp
t
t
p
t
t
p
{
}
)()1()(
)!1(
)!2(
1
1
ntnt
p
p
p
p
−ϕ−−+ϕ
η−
−
−−
−
−
K . (14)
Вычислив по частям интегралы:
∫
η−
−
−τ
ττϕ
t
p
t
d
1
)(
)(
и
∫
η+
−τ
ττϕ
1
)(
)(
t
p
t
d
и вос-
пользовавшись формулой (14), получим: 
                 1~         ⎡t j + 2 ⎛        1                  1           ⎞ ⎤
             +     ϕ(t ′j ) ⎢ ∫ ⎜⎜                      +                    ⎟ dτ⎥ + RN ,
                                                                             ⎟ ⎥                         (13)
                 2          ⎢ t j −1 ⎝ [τ − (t − ih)] p
                                                          [τ − (t + ih)]p    ⎠ ⎦
                            ⎣
                                                                      N −1
где t k = −1 + 2k / N , k = 0, 1, K, N − 1 . Сумма                    ∑         означает, что сум-
                                                                      k =0
мирование          проводится           при        k ≠ j − 1, j , j + 1 ;           t k′ = (t k + t k +1 ) / 2 ,
h = N −1 / p . Особая точка t находится внутри интервала [− 1 + δ,1 − δ] ,
где δ >> h .
                                            ~ (τ) ≤ ε . Для интеграла Ада-
   Теорема. Пусть ϕ( τ) ∈ W r (1) и ϕ( τ) − ϕ
мара (12) квадратурная формула (13) при h = 0( N −1 / p ) имеет погреш-
ность RN ≤ A( N −1 / p + εN 1−1 / p ) .
   Доказательство. Представим интеграл Адамара (1) в виде суммы
интегралов
             1
                ϕ(τ)dτ            ⎡t −η ϕ( τ)dτ 1 ϕ(τ)dτ t +η ϕ(τ)dτ ⎤
             ∫            p
                            =
                              η→0 ∫ ( τ − t ) p
                              lim ⎢             + ∫            p
                                                                 + ∫            p
                                                                                  ⎥.
             −1 ( τ − t )         ⎣⎢ −1          t +η (τ − t )    t −η ( τ − t ) ⎦⎥
       Из определения интеграла Адамара следует, что
t +η                      t +η
     ϕ(τ)dτ
             =
                  1        ϕ( p−1) (τ)dτ 1
                                                             {
  ∫ (τ − t) p ( p −1)! ∫ (τ − t) − ( p −1)!η ϕ (t + n) − (−1) ϕ (t − n) −
                                              ( p−1)         1 ( p−1)
                                                                                                          }
t −η                  t −η


                   −
                            2!
                       ( p −1)!η2
                                   {
                                  ϕ( p−2) (t + n) − (−1) 2 ϕ( p−2) (t − n) −    }
                 −K −
                              ( p − 2)!
                           ( p − 1)!η p −1
                                           {
                                           ϕ(t + n) − ( −1) p −1 ϕ(t − n) .         }                    (14)

                                                        t −η                        1
                                                                 ϕ( τ)dτ              ϕ(τ)dτ
       Вычислив по частям интегралы:                     ∫       (τ − t ) p
                                                                            и       ∫           p
                                                                                                  и вос-
                                                        −1                       t +η ( τ − t )
пользовавшись формулой (14), получим:




                                                 15

Страницы