Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

17
[][]
1
1
1
0
1
11 1
11 1
11
0
11
() 1 1 1
()
()2
() ()
() 1 () 1 ()
()2( )2( )
1() ()
()
2( ) ( )
k
k
t
N
Nk
pp
p
k
t
ppp
N
k
pp
k
d
Rt d
t
tih tih
dd d
ttihtih
dd
t
tih tih
+
−
=
−
−− −
−
=
−−
⎡⎤
⎛⎞
ϕτ τ
⎢⎥
′
⎜⎟
≤−ϕ + τ≤
⎜⎟
τ−
⎢⎥
τ− − τ− +
⎝⎠
⎣⎦
ϕτ τ ϕτ τ ϕτ τ
≤− − +
τ− τ− + τ− −
ϕτ τ ϕτ τ
′
++−ϕ
τ− + τ− −
∑
∫∫
∫∫ ∫
∫∫
%
%
[][]
1
1
11
() ()
k
k
t
pp
t
d
tih tih
+
⎡
⎤
⎛⎞
⎢
⎥
⎜⎟
+
τ≤
⎜⎟
⎢
⎥
τ− − τ− +
⎝⎠
⎣
⎦
∑
∫
+
−−τ
ττϕ
−
−−τ
ττϕ
−
−τ
ττϕ
≤
∫∫∫
−−−
1
1
1
1
1
1
)(
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
)(
ррp
iht
d
iht
d
t
d
[]
[]
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1() 1
()
2( )
()
1() 1
()
2( )
()
k
k
k
k
t
N
k
p
p
k
t
t
N
k
p
p
k
t
d
td
tih
tih
d
td
tih
tih
+
+
−
=
−
−
=
−
⎡
⎤
ϕτ τ
′
+−ϕ τ+
⎢
⎥
τ− +
τ− +
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
ϕτ τ
′
+−ϕ τ≤
⎢
⎥
τ− −
τ− −
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
∫∫
∑
∫∫
%
%
11 1
11 1
() 1 () 1 ()
()2( )2( )
ppp
dd d
ttihtih
−− −
ϕτ τ ϕτ τ ϕτ τ
≤− − +
τ− τ− + τ− −
∫∫ ∫
[] []
11
11
00
() ( ) () ( )
11
22
() ()
kk
kk
tt
NN
kk
pp
kk
tt
tt tt
dd
tih tih
++
−−
==
⎡⎤⎡⎤
′′
ϕ−ϕ ϕ−ϕ
+τ+τ+
⎢⎥⎢⎥
τ− + τ− −
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
∑∑
∫∫
%%
[] []
11
11
12345
00
() () () ()
11
.
22
() ()
kk
kk
tt
NN
kk kk
pp
kk
tt
tt tt
ddrrrrr
tih tih
++
−−
==
⎡⎤⎡⎤
′′ ′′
ϕ−ϕ ϕ−ϕ
+τ+τ=++++
⎢⎥⎢⎥
τ− + τ− −
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
∑∑
∫∫
%%
Оценим каждое слагаемое в отдельности. Из формул (15) – (17)
следует, что
)1()1()1()1()1()1(
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
0
11
−−
+−+++−++−+=
pp
rrrrrrrr K ,
где
)(
)(
2
1)(
2
1
)(
)(
)!1(
1
1
1
)1(
1
1
)1(
1
1
)1(
0
1
hO
iht
d
iht
d
t
d
p
r
pp
p
p
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−τ
ττϕ
−
+−τ
ττϕ
−
−τ
ττϕ
−
=
∫∫∫
−
−
−
−
−
−
; 
           1
         ϕ(τ)dτ 1 N −1               ⎡tk+1 ⎛         1                  1        ⎞ ⎤
 RN ≤ ∫            −   ∑    ϕ
                            % (t ′ ) ⎢ ∫   ⎜                  +                  ⎟dτ⎥ ≤
                                           ⎜ [            ]     [            ]   ⎟ ⎥
                                k
         (τ− t ) p
                     2               ⎢         τ− (t − ih)
                                                            p
                                                                  τ− (t + ih)
                                                                               p
      −1               k =0
                                     ⎣ tk ⎝                                      ⎠ ⎦
    1                      1                         1
        ϕ(τ)dτ 1          ϕ(τ)dτ        1       ϕ(τ)dτ
≤   ∫−1 (τ− t)p − 2 −∫1 (τ− t + ih) p − 2 −∫1 (τ− t − ih) p +
    1
       1
            ϕ(τ)dτ
                         1
                              ϕ(τ)dτ       N −1          ⎡tk+1 ⎛  1     1         ⎞ ⎤
+                      +                 − ∑ k ⎢ ∫ ⎜ τ− (t − ih) p τ− (t + ih) p ⎟⎟dτ⎥⎥ ≤
    2 −∫1 (τ− t + ih) p −∫1 (τ− t − ih) p k =0
                                                ϕ
                                                % (t ′ ) ⎢     ⎜     +
                                                         ⎣ tk ⎝ [   ] [       ] ⎠ ⎦
                               1                     1                                  1
                                  ϕ(τ)dτ 1           ϕ(τ) dτ       1      ϕ(τ) dτ
                        ≤      ∫ (τ − t ) p − 2 ∫ (τ − t − ih) р − 2 ∫ (τ − t − ih) р +
                               −1               −1                   −1

                           1
                                   1
                                      ϕ(τ)d τ        N −1          ⎡ tk +1       1             ⎤
                       +       ∫                   − ∑    ϕ
                                                          % (t ′
                                                               k ) ⎢  ∫
                                                                   ⎢⎣ tk [ τ − (t + ih)]
                                                                                           d τ ⎥+
                               −1 ( τ − t + ih )
                                                 p                                       p
                           2                         k =0                                      ⎥⎦

                         1
                                   1
                                    ϕ(τ) d τ     N −1          ⎡ tk +1       1              ⎤
                       +
                         2
                                               − ∑
                               ∫ (τ − t − ih) p k =0  ϕ
                                                      % (t ′
                                                           k ) ⎢  ∫
                                                               ⎢⎣ tk [ τ − (t − ih) ]
                                                                                      p
                                                                                        d τ ⎥≤
                                                                                            ⎥⎦
                               −1

                               1                 1                                  1
                                ϕ(τ)d τ 1             ϕ(τ)d τ       1        ϕ(τ)d τ
                       ≤    ∫−1 (τ − t ) p − 2 −∫1 (τ − t + ih) p − 2 −∫1 (τ − t − ih) p +
                   1         ⎡ ϕ(t ) − ϕ% (t ′ ) ⎤ 1
                       N −1 tk +1                                            ⎡
                                                                      N −1 tk +1                      ⎤
                                                                                        ϕ(t ) − ϕ% (tk′ )
               +       ∑     ⎢∫                k

                       k = 0 ⎢ tk [ τ − (t + ih) ]
                                                     d τ⎥ +           ∑ ⎢⎢ ∫                       d τ⎥ +
                                                                                    [ τ − (t − ih)] ⎥⎦
                                                   p                                                    p
                   2                                    ⎥⎦ 2
                             ⎣                                        k =0
                                                                             ⎣ tk
    1        ⎡ ϕ(t ′ ) − ϕ% (t ′ ) ⎤ 1
        N −1 tk +1                                             ⎡ ϕ(t ′ ) − ϕ% (t ′ ) ⎤
                                                         N −1 tk +1
+
    2
        ∑    ⎢∫        k        k

        k =0 ⎢ tk [ τ − (t + ih)]
                                  p
                                    d τ⎥ +
                                           2
                                                         ∑     ⎢∫        k        k

                                                         k = 0 ⎢ tk [ τ − (t − ih)]
                                                                                    p
                                                                                      d τ⎥ = r1 + r2 + r3 + r4 + r5 .
             ⎣                         ⎦⎥                      ⎣                         ⎦⎥
   Оценим каждое слагаемое в отдельности. Из формул (15) – (17)
следует, что
       r1 = r10 + r11 (−1) + r11 (1) + r12 (−1) + r12 (1) + K + r1p −1 (−1) + r1p −1 (1) ,
где
             1 ⎡ ϕ( p −1) (τ) dτ 1 ϕ( p −1) (τ)dτ 1 ϕ( p −1) (τ)dτ ⎤
                      1                     1                    1

                    ⎢∫
                                         2 −∫1 τ − t + ih     2 −∫1 τ − t − ih ⎥⎦
  r10 =                               −                     −                    ⎥ = O ( h) ;
         ( p − 1)! ⎢⎣ −1 (τ − t ) p


                                                                17

Страницы