Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

4
− В(х) имеет, по крайней мере, р производных в окрестности точ-
ки
х = b.
Произвольный выбор
В(х) никак не влияет на значение получаемо-
го предела: 1-е условие определяет значения
р–1 первых производных
от
В(х) в точке b, так что произвольный добавочный член в числителе
есть бесконечно малая величина, по меньшей мере порядка
p
xb )( − .
Ж. Адамар назвал этот предел «конечной частью» интеграла и
обозначил
∫
α+
−
b
a
p
xb
dxxA
)(
)(
.
Знак
означает конечную часть интеграла. В современной лите-
ратуре чаще встречается другое обозначение интеграла Адамара:
∫
β+
−
b
a
p
xb
dxxA
)(
)(
(в данной работе используется это обозначение).
Один из способов вычисления Адамара заключается в следующем.
Представим интеграл (1) в виде
∫∫∫
+−
′
++
−
=
−
α+α+
b
a
b
a
b
a
pp
bx
bA
bA
xb
dxxA
xb
dxxA
)(
!1
)(
)([
)(
)(
)(
)(
1
,
)(
]
)!1(
))((
...
1)1(
α+
−−
−
−
−
++
p
pp
xb
dx
p
bxbA
(2)
где
)!1(
))((
...)(
!1
)(
)()()(
1)1(
1
−
−
−−−
′
−−=
−−
p
bxbA
bx
bA
bAxAxA
pp
.
Вычисляя второй из интегралов, стоящих в правой части формулы
(2), по определению (1), в котором
)!1(
))(()1(
...
!1)2(
))((
1
)(
)(
1)1(1
−α
−−
++
−α+
−
′
−
−α+
=
−−−
p
xbbA
p
xbbA
p
bA
xB
ppp
,
имеем 
   − В(х) имеет, по крайней мере, р производных в окрестности точ-
ки х = b.
   Произвольный выбор В(х) никак не влияет на значение получаемо-
го предела: 1-е условие определяет значения р–1 первых производных
от В(х) в точке b, так что произвольный добавочный член в числителе
есть бесконечно малая величина, по меньшей мере порядка (b − x) p .
   Ж. Адамар назвал этот предел «конечной частью» интеграла и
обозначил
                                        b
                                            A( x) dx
                                        ∫ (b − x) p+α .
                                        a


   Знак    означает конечную часть интеграла. В современной лите-
ратуре чаще встречается другое обозначение интеграла Адамара:
                                        b
                                            A( x) dx
                                        ∫ (b − x) p+β
                                        a

(в данной работе используется это обозначение).
   Один из способов вычисления Адамара заключается в следующем.
Представим интеграл (1) в виде
            b              b             b
                A( x)dx      A1 ( x)dx            A′(b)
            ∫ (b − x) p+α ∫ (b − x) p+α ∫ [ A(b) + 1! ( x − b) +
                         =             +
            a              a             a

                                 A( p −1) (b)( x − b) p −1       dx
                       + ... +                             ]              ,           (2)
                                         ( p − 1)!           (b − x) p +α
                                 A′(b)                  A( p −1) (b)( x − b) p −1
где A1 ( x) = A( x) − A(b) −           ( x − b) − ... −                           .
                                  1!                            ( p − 1)!
    Вычисляя второй из интегралов, стоящих в правой части формулы
(2), по определению (1), в котором
                  A(b)     A′(b)(b − x)          (−1) p−1 A( p−1) (b)(b − x) p −1
      B( x) =            −               + ... +                                  ,
                p + α − 1 ( p + α − 2)1!                   α( p − 1)!
имеем


                                               4

Страницы