Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 6 стр.

ся. Но он сходится, если ϕ(x) равна нулю в окрестности точки x0 .
Ставится вопрос, нельзя ли доопределить возникающий при этом
функционал, т. е. построить функционал f ∈ K , который на основ-
ные функции ϕ(x) , равные нулю в окрестности точки х0, действует
по формуле (3). Всякий такой функционал f называется регуляризаци-
ей расходящегося интеграла (3) или регуляризацией функции f(x).
   Остановимся на проблеме регуляризации функций со степенными
особенностями, так как интеграл в смысле Адамара введен для интег-
рирования таких функций.
   Пусть f(x) – функция со степенной особенностью в точке
x0 = ( x10 ,..., xn0 ) , причем функция f ( x) = r m локально интегрируема.
Здесь
                                             n               1
                                     r = [∑ ( xk − xk0 ) 2 ] 2 .
                                            k =1

   Предложим следующую регуляризацию степенных функций:
                                            ∂ϕ(0)            ∂ m ϕ(0) xnm
 ( f , ϕ) =   ∫    f ( x){ϕ( x) − [ϕ(0) +
                                             ∂x1
                                                  x1 + ... +
                                                               ∂xnm m!
                                                                          ]θ(1 − r )}dx ,   (4)
              Rn

где для простоты полагается, что особая точка x0 = 0 , функция
θ(1 − r ) равна единице при r < 1 и равна нулю при r = 1.
   Сравнивая результаты регуляризации функции f(x) со степенной
особенностью, проведенной по формуле (4) при n = 1, и результаты
непосредственного вычисления интеграла Адамара по формуле (2),
легко убедиться, что они отличаются на константу.
   Теорема. Если f 0 – частное решение проблемы регуляризации
интеграла (3), то общее решение f получается прибавлением к f 0
любого функционала, сосредоточенного в точке x0 .
   Рассмотрим интеграл
                                                 ∞
                                      Aϕ = ∫ ϕ(τ)τλ − 2 dτ ,
                                                 0

где 1 < λ < 2 ,


                                                     6