Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

8
∫
<<
−τ
ττϕ
b
a
p
bca
c
d
,,
)(
)(
в смысле главного значения Коши–Адамара будет следующий пре-
дел:
∫∫∫
−
+
−
→
−
ξ
+
−τ
ττϕ
+
−τ
ττϕ
=
−τ
ττϕ
b
a
vc
a
b
vc
ppp
v
p
vc
v
c
d
c
d
c
d
]
)(
)(
)(
)(
)(
)(
[lim
)(
)(
1
0
,
где )(vξ – некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный пре-
дел существовал.
2. Постановка задачи построения
оптимальной квадратурной формулы
В 1958 г. вышла книга С. М. Никольского «Квадратурные форму-
лы», которая привлекла внимание математиков к построению опти-
мальных квадратурных формул. Различные подходы к построению
оптимальных квадратурных формул предложены Н. С. Бахваловым,
В. И. Крыловым, С. М. Никольским, С. Л. Соболевым. Оптимальные
весовые кубатурные формулы исследованы В. И. Бойковым.
Формулировка задачи построения
оптимальных квадратурных
формул в применении к интегралам Адамара принадлежит А. Н. Кол-
могорову и заключается в следующем. Рассмотрим интеграл
∫
−τ
ττϕ
=ϕ
b
a
p
t
d
A ,
)(
)(
p
– целое, (7)
который будем вычислять по квадратурной формуле
∑
=
ϕ+ϕ=ϕ
N
k
kkNkk
tpstRtpSA
1
)),(,()()(
(8)
с узлами
k
s и весами )...,,2,1()( Nktp
k
=
.
Под погрешностью квадратурной формулы (8) будем понимать ве-
личину
)),(,,(max),,( ϕ=ϕ tpstRpsR
kkN
t
kkN
. 
                              b
                                      ϕ(τ) dτ
                              ∫ (τ − c) p ,             a < c < b,
                              a

в смысле главного значения Коши–Адамара будет следующий пре-
дел:
           b                    c −v                     b
              ϕ(τ) dτ                   ϕ( τ)dτ        ϕ( τ)dτ       ξ( v )
           ∫ (τ − c) p = lim[     ∫    (τ − c) p
                                                 + ∫          p
                                                                +
                                                                  (c − v) p −1
                                                                               ],
                                                  c+v (τ − c)
                         v→0
           a                      a

где ξ(v ) – некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный пре-
дел существовал.
                  2. Постановка задачи построения
               оптимальной квадратурной формулы
   В 1958 г. вышла книга С. М. Никольского «Квадратурные форму-
лы», которая привлекла внимание математиков к построению опти-
мальных квадратурных формул. Различные подходы к построению
оптимальных квадратурных формул предложены Н. С. Бахваловым,
В. И. Крыловым, С. М. Никольским, С. Л. Соболевым. Оптимальные
весовые кубатурные формулы исследованы В. И. Бойковым.
   Формулировка задачи построения оптимальных квадратурных
формул в применении к интегралам Адамара принадлежит А. Н. Кол-
могорову и заключается в следующем. Рассмотрим интеграл
                                        b
                                           ϕ(τ)dτ
                            Aϕ = ∫                  p
                                                      , p – целое,                  (7)
                                        a ( τ − t )
который будем вычислять по квадратурной формуле
                            N
                     Aϕ = ∑ ϕ( S k ) pk (t ) + RN (t , sk pk (t ), ϕ)               (8)
                            k =1

с узлами sk и весами pk (t ) (k = 1, 2, ..., N ) .
   Под погрешностью квадратурной формулы (8) будем понимать ве-
личину
                   RN ( sk , pk , ϕ) = max RN (t , sk , pk (t ), ϕ) .
                                                t




                                                    8

Страницы