Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

10
∑∑
==
ϕ+ϕ=ϕ
m
k
n
l
klkmnkkl
pyxttRyxttpI
11
121121
),;,,,(),(),(
, (10)
определяемые вектором
22121211
...,...:),( byyyabxxxayx
nm
<<
<
<
<
<
<
<
<
<
и коэффициентами
)1,1( nlmkp
kl
≤
≤
≤
≤
.
Под погрешностью кубатурной формулы (10) будем понимать ве-
личину
[
]
),;,;,(sup),;,(
121
,
1
21
ϕ
=
ϕ
klkmn
tt
klkmn
pyxttRpyxR .
Если m – некоторый класс заданных на прямоугольнике
],;,[
2211
baba
функций, то положим,
[
]
),;,;,(sup),;,(
1211
ϕ
=
∈ϕ
klkmn
m
klkmn
pyxttRmpyxR .
Через ][m
mn
ξ
обозначим величину
),;,(inf][
1
),,(
ϕ
=
ξ
klkmn
pyx
mn
pyxRm ,
в которой нижняя грань погрешности берется по всевозможным век-
торам );,( pyx узлов и весов )...,,2,1;...,,2,1( MlNk
=
=
. Кубатур-
ную формулу (10), построенную на векторах );,(
**
1
*
klk
pyx , будем
называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной
по порядку, если
1
][
),;,(
***
=
ξ m
mpyxR
mn
klkkmn
,
1
][
),;,(
lim
***
,
=
ξ
∞→∞→
m
mpyxR
mn
klkkmn
nm
,
][),,,(
**
1
*
mmpyxR
mnklkmn
ξ
∩
∪
.
Двойной интеграл (9) можно вычислять по кубатурной формуле
),,,,()(),(
21
1
21
ϕ+ϕ=ϕ
∑
=
kkNk
N
k
k
pMttRMttpI
, (11) 
                   m    n
            Iϕ = ∑∑ pkl (t1 , t 2 )ϕ( xk , y1 ) + Rmn (t1 , t 2 , xk , y1 ; pkl , ϕ) ,   (10)
                  k =1 l =1

определяемые вектором (x, y) : a1 < x1 < x2 < ...< xm < b1, a2 < y1 < y2 < ...< yn < b2
и коэффициентами pkl (1 ≤ k ≤ m,1 ≤ l ≤ n) .
   Под погрешностью кубатурной формулы (10) будем понимать ве-
личину
            Rmn ( xk , y1 ; p kl , ϕ) = sup[Rmn (t1 , t 2 ; xk , y1 ; pkl , ϕ)] .
                                                  t1 ,t 2

    Если m – некоторый класс заданных на прямоугольнике
[a1 , b1 ; a2 , b2 ] функций, то положим,
                Rmn ( xk , y1 ; pkl , m) = sup[Rmn (t1 , t 2 ; xk , y1 ; pkl , ϕ)] .
                                                  ϕ∈m

   Через ξ mn [m] обозначим величину
                              ξ mn [m] = inf Rmn ( xk , y1 ; pkl , ϕ) ,
                                           ( x, y, p )

в которой нижняя грань погрешности берется по всевозможным век-
торам ( x, y; p ) узлов и весов (k = 1, 2, ..., N ; l = 1, 2, ..., M ) . Кубатур-
ную формулу (10), построенную на векторах ( xk* , y1* ; pkl* ) , будем
называть оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной
по порядку, если
                                     Rmn ( xk* , yk* ; pkl* , m)
                                                                 =1,
                                            ξ mn [m]
                                        Rmn ( xk* , y k* ; pkl* , m)
                                  lim                                = 1,
                               m→∞ ,n→∞        ξ mn [m]
                                                               ∪
                                 Rmn ( xk* , y1* , pkl* , m)       ξ mn [m] .
                                                               ∩
   Двойной интеграл (9) можно вычислять по кубатурной формуле
                       N
               Iϕ = ∑ pk (t1 , t 2 )ϕ( M k ) + RN (t1 , t 2 , M k , pk , ϕ) ,            (11)
                       k =1




                                                         10

Страницы