Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

9
Если m – некоторый класс заданных на сегменте [a,b] функций, то
положим,
),,(sup),,( ϕ=
∈ϕ
kkN
m
kkN
psRmpsR
.
Через ][m
N
ξ
обозначим величину
),,(inf][
),(
mpsRm
kkN
ps
N
kk
=
ξ ,
где нижняя грань берется по всевозможным N узлам
k
s
и весам
)...,,2,1()( Nktp
k
=
. Квадратурную формулу (8), построенную на
узлах
*
k
s и весах )...,,2,1()(
*
Nktp
k
= , будем называть оптимальной,
асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если
1
][
)),(,(
**
=
ξ m
mtpsR
N
kkN
,
←∞N
lim
1
][
)),(,(
**
=
ξ m
mtpsR
N
kkN
,
][)),(,(
**
mmtpSR
NkkN
ξ
∩
∪
,
соответственно. Знак
∩
∪
(слабая эквивалентность) означает, что име-
ются две константы А и В (0 < A, B <
∞
), не зависящие от N и такие,
что
][),,(][
**
mBmpsRmA
NkkNN
ξ<<ξ .
Постановку задачи в случае многомерных интегралов опишем на
примере двойного интеграла следующего вида:
∫∫
ττ
−τ−τ
ττϕ
=ϕ
1
1
2
2
21
21
2211
21
)()(
),(
b
a
b
a
pp
dd
tt
I . (9)
Для вычисления этого интеграла будем использовать кубатурные
формулы вида 
   Если m – некоторый класс заданных на сегменте [a,b] функций, то
положим,
                    RN ( sk , pk , m) = sup RN ( sk , pk , ϕ) .
                                                 ϕ∈m

   Через ξ N [m] обозначим величину
                       ξ N [ m] = inf RN ( sk , pk , m) ,
                                       ( sk , pk )

где нижняя грань берется по всевозможным N узлам sk и весам
 pk (t ) (k = 1, 2, ..., N ) . Квадратурную формулу (8), построенную на
узлах sk* и весах pk* (t ) (k = 1, 2, ..., N ) , будем называть оптимальной,
асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку, если
                              RN ( sk* , pk* (t ), m)
                                                      = 1,
                                    ξ N [ m]
                                     RN ( sk* , pk* (t ), m)
                         lim                                 =1,
                         N ←∞              ξ N [ m]
                                                       ∪
                         RN ( S k* , pk* (t ), m)        ξ N [ m] ,
                                                       ∩
                    ∪
соответственно. Знак   (слабая эквивалентность) означает, что име-
                    ∩
ются две константы А и В (0 < A, B < ∞ ), не зависящие от N и такие,
что
                    Aξ N [m] < RN ( sk* , pk* , m) < Bξ N [m] .
  Постановку задачи в случае многомерных интегралов опишем на
примере двойного интеграла следующего вида:
                             b1 b2
                                            ϕ(τ1 , τ 2 )
                      Iϕ =   ∫ ∫ (τ            p1             p2
                                                                 dτ1dτ 2 .   (9)
                             a1 a2     1 − t1 ) ( τ 2 − t 2 )

  Для вычисления этого интеграла будем использовать кубатурные
формулы вида




                                                 9

Страницы