Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 7 стр.

а функция ϕ( τ) = (1 − ϕ1 ( τ) / τ) −μ ,
где ϕ1 (τ) – ограниченная функция, μ > 0 .
  Очевидно, интеграл Aϕ не существует в смысле Римана и необхо-
димо проведение регуризация.
  Регуляризация интеграла Aϕ проводится следующим образом.
Вначале доказывается, что интеграл
                                    ∞

                                    ∫ τ dτ = 0
                                        μ
                                                                    (5)
                                    0

при любом μ . В самом деле
                             ∞          a        ∞

                             ∫ τ dτ = ∫ τ dτ + ∫ τ dτ .
                                μ        μ        μ
                                                                    (6)
                             0          0        a

    При условии Re μ > −1 первый интеграл существует и равен
  μ +1`
a /(μ + 1) . Полученная функция является аналитической во всей
плоскости комплексной переменной, исключая точку μ = −1 . Второй
интеграл существует при условии Re μ < −1 и равен − a μ+1 /(μ + 1) . Он
также является аналитической функцией во всей плоскости ком-
плексной переменной за исключением точки μ = −1 . Продолжая ин-
теграл из правой части формулы (6) на всю комплексную плоскость,
доказываем (5). Тогда регуляризация осуществляется формулой
                        ∞                   ∞

                         ∫ ϕ(τ)τ dτ = ∫ (ϕ(τ) − 1)τ dτ .
                                λ −2               λ −2

                         0                  0

   Нетрудно видеть, что последний интеграл существует. Аналогич-
ным образом осуществляется переход к большим значениям λ .
   Л. А. Чикин дает определение интеграла типа Коши–Адамара,
обобщающее понятия интеграла в смысле главного значения Коши и
интеграла в смысле Адамара.
   Определение 4. Интегралом




                                            7