Эффективный метод вычисления интеграла Адамара на конечном интервале. Добрынина Н.Ф - 5 стр.

                                                (−1) p−1 A( p−1) (b)
b                                                                   b
    A( x)dx             A(b)                                              A ( x)dx
∫ (b − x) p+α ( p + α − 1)(b − a) p+α−1
             = −                        − ... −
                                                ( p − 1)α(b − a)   α
                                                                     + ∫ 1 p +α .
a                                                                      a (b − x)

   Данное Адамаром определение конечной части расходящегося ин-
теграла является частным случаем общего понятия регуляризации
расходящихся интегралов.
    Определение 2. Множество К всех вещественных функций ϕ(x)
( x = ( x1 ,..., xn )) , каждая из которых имеет непрерывные производные
всех порядков и финитна, т. е. обращается в нуль вне некоторой огра-
ниченной области, называется основным пространством. Сами функ-
ции ϕ(x) называются основными.
   Определение 3. Линейный непрерывный функционал f задан на
основном пространстве К, если указано правило, в силу которого ос-
новной функции ϕ(x) сопоставлено некоторое число ( f , ϕ) и при
этом выполнены следующие условия:
   а) для любых двух вещественных чисел α1 , α 2 и любых двух ос-
новных функций ϕ1 ( x), ϕ2 ( x) имеет место равенство ( f , α1ϕ1 + α 2 ϕ 2 ) =
= α1 ( f , ϕ1 ) + α 2 ( f , ϕ 2 ) ;
    б) если последовательность основных функций ϕ1 , ..., ϕ n , ... стре-
мится к нулю в пространстве К, то последовательность чисел
( f , ϕ1 )...( f , ϕn ),... сходится к нулю.
   Если f(x) локально интегрируемая в Rn , то с её помощью можно
каждой основной функции ϕ(x) поставить в соответствие число
                              ( f , ϕ) =   ∫ f ( x)ϕ( x)dx .                   (3)
                                           Rn

   Легко видеть, что выражение (3) является линейным функциона-
лом. Известно, что не все линейные функционалы представимы в ви-
де (3). Линейные функционалы, представимые в виде (3), называются
регулярными, все остальные – сингулярными.
   Пусть f(x) – функция, локально интегрируемая всюду, кроме точ-
ки x0 . В этой точке она имеет неинтегрируемую особенность. Тогда
интеграл (3), где ϕ(x) – основная функция, вообще говоря, расходит-


                                           5