Квадратурные и кубатурные формулы. Добрынина Н.Ф - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

11
Лабораторная работа № 2
Интерполяционные методы вычисления
интегралов по значениям функции.
Правила Котеса
В лабораторной работе изучаются правила приближенного интег-
рирования по нескольким значениям функции :)(xf
∫
∑
=
+=
b
a
n
k
kk
RxfAdxxfxp
1
.)()()( (1)
Это равенство считается интерполяционным. Рассмотрим правила
приближенных квадратур, для которых выполняется алгебраическое
интерполирование функции по ее значениям ).,,2,1( nkx
k
K
=
Ли-
нейная комбинация
),(xS
n
интерполирующая функцию )(xf , явля-
ется алгебраическим многочленом степени :1
−
n
).()()(),(
)()(
)(
)(
1
1
n
n
k
k
kk
n
xxxxxxf
xxx
x
xS −−=ω
ω
′
−
ω
=
∑
=
K
Коэффициенты
k
A могут быть получены с помощью интегриро-
вания интерполяционных множителей Лагранжа:
[]
∫
−
−
−ωω
′
=
b
a
kkk
dxxxxxpxA .))(()()(
1
1
(2)
Квадратурные формулы с коэффициентами вида (2) характеризу-
ются требованием, чтобы равенство (1) выполнялось точно всякий
раз, когда )(xf есть произвольно взятый алгебраический многочлен
степени, не большей
.1−n
Выражение для остаточного члена
R
получается из представле-
ния остатка алгебраического интерполирования по значениям функ-
ции
∫
ξω=
−
b
a
n
dxfxxpnR ,)()()()!(
)(1
(3) 
                      Лабораторная работа № 2
     Интерполяционные методы вычисления
       интегралов по значениям функции.
                Правила Котеса
   В лабораторной работе изучаются правила приближенного интег-
рирования по нескольким значениям функции f (x) :
                       b                       n

                       ∫ p( x) f ( x)dx = ∑ Ak f ( xk ) + R.
                                           k =1
                                                                                    (1)
                       a

   Это равенство считается интерполяционным. Рассмотрим правила
приближенных квадратур, для которых выполняется алгебраическое
интерполирование функции по ее значениям xk (k = 1, 2, K, n). Ли-
нейная комбинация S n (x), интерполирующая функцию f (x) , явля-
ется алгебраическим многочленом степени n − 1 :
                 n
                           ω( x)
       S n ( x) = ∑                     f ( xk ), ω( x) = ( x − x1 )K ( x − xn ).
                k =1 ( x − xk )ω′( xk )

   Коэффициенты Ak могут быть получены с помощью интегриро-
вания интерполяционных множителей Лагранжа:
                                      b
                 Ak = [ω′( xk )] ∫ p( x)ω( x)( x − xk ) −1 dx.
                                −1
                                                                                    (2)
                                      a

   Квадратурные формулы с коэффициентами вида (2) характеризу-
ются требованием, чтобы равенство (1) выполнялось точно всякий
раз, когда f (x) есть произвольно взятый алгебраический многочлен
степени, не большей n − 1.
   Выражение для остаточного члена R получается из представле-
ния остатка алгебраического интерполирования по значениям функ-
ции
                                  b
                      R = (n!) −1 ∫ p( x)ω( x) f ( n ) (ξ)dx,                       (3)
                                  a




                                          11

Страницы